Quetschungssatz von Gromov

In der Mathematik ist der Quetschungssatz von Gromov (engl.: Gromov‘s non-squeezing theorem) ein grundlegender Lehrsatz der symplektischen Topologie, der zeigt, dass symplektische Abbildungen sehr viel speziellere Eigenschaften haben als allgemeine volumen-erhaltende Abbildungen. Er stammt von Michail Leonidowitsch Gromow.

Aussage

Eine offene Kugel vom Radius $r$ im symplektischen Vektorraum $(\mathbb {R} ^{2n},\sum _{i=1}^{n}dq_{i}\wedge dp_{i})$ lässt sich genau dann in den Zylinder

$\left\{(q,p)\in \mathbb {R} ^{2n}\colon q_{1}^{2}+p_{1}^{2}<R\right\}$

symplektisch einbetten, wenn $r\leq R$.

Die Existenz einer symplektischen Einbettung für $r\leq R$ ist offensichtlich. Gromov‘s Satz besagt, dass diese Bedingung auch notwendig ist.

Literatur

• M. Gromov: Pseudo holomorphic curves in symplectic manifolds. Invent. Math. 82, 307–347 (1985).

Weblinks

• Quetschungssatz von Gromov (Lexikon der Mathematik)