Plus-Konstruktion

Die Plus-Konstruktion (häufig als Quillens Plus-Konstruktion bezeichnet) ist ein Verfahren der algebraischen Topologie, das unter anderem bei der Definition der algebraischen K-Theorie Anwendung findet.

Konstruktion

Konstruktion im Fall perfekter Fundamentalgruppen

Satz: Sei $X$ ein zusammenhängender CW-Komplex mit $H_{1}(X;\mathbb {Z} )=0$ . Dann gibt es einen durch Ankleben von 2- und 3-Zellen konstruierten einfach zusammenhängenden CW-Komplex $X^{+}$ und eine Inklusion $j:X\rightarrow X^{+}$ , so dass die induzierten Morphismen der Homologiegruppen

j_{n}:H_{n}(X;\mathbb {Z} )\rightarrow H_{n}(X^{+};\mathbb {Z} )

für alle $n\in \mathbb {N}$ Isomorphismen sind.

Konstruktion/Beweisidee: Seien $\left\{e_{i}:S^{1}\rightarrow X\right\}_{i\in I}$ Repräsentanten für ein Erzeugendensystem der Fundamentalgruppe $\pi _{1}X$ . Durch Ankleben von 2-Zellen $\left\{D_{i}\right\}_{i\in I}$ mittels der Abbildungen $e_{i}:\partial D_{i}\rightarrow X$ erhält man einen einfach zusammenhängenden CW-Komplex $X^{\prime }$ . Die lange exakte Sequenz

0\rightarrow H_{2}(X)\rightarrow H_{2}(X^{\prime })\rightarrow H_{2}(X^{\prime },X)\rightarrow 0=H_{1}(X)

spaltet weil $H_{2}(X^{\prime },X)$ von den 2-Zellen $\left\{D_{i}\right\}_{i\in I}$ frei erzeugt wird, man hat also einen Isomorphismus

H_{2}(X^{\prime })=H_{2}(X)\oplus H_{2}(X^{\prime },X)

und der Summand $H_{2}(X^{\prime },X)$ wird von den $\left\{D_{i}\right\}_{i\in I}$ erzeugt. Weil $X^{\prime }$ einfach zusammenhängend ist, sind nach dem Satz von Hurewicz die Elemente $\left[D_{i}\right]\in H_{2}(X^{\prime })$ von der Form $(f_{i})_{*}\left[S^{2}\right]$ für Abbildungen $f_{i}:S^{2}\rightarrow X^{\prime }$ . (Hier bezeichnet $\left[S^{2}\right]\in H_{2}(S^{2};\mathbb {Z} )$ die Fundamentalklasse.) Durch Ankleben von 3-Zellen $\left\{E_{i}\right\}_{i\in I}$ mittels der Abbildungen $f_{i}:\partial E_{i}\rightarrow X^{\prime }$ erhält man einen einfach zusammenhängenden CW-Komplex $X^{+}$ mit $H_{2}(X^{+})=H_{2}(X)$ . Weil die angeklebten 3-Zellen ihren Rand nicht in $X$ haben, gilt $H_{3}(X^{+},X)=0$ , und weil lediglich 2- und 3-dimensionale Zellen angeklebt wurden, gilt $H_{*}(X^{+},X)=0$ für $*\geq 4$ . Also hat man auch für alle Homologiegruppen ab Grad 3 einen Isomorphismus.

Konstruktion im allgemeinen Fall

Satz: Sei $X$ ein zusammenhängender CW-Komplex und $N\subset \pi _{1}X$ ein perfekter Normalteiler. Dann gibt es einen durch Ankleben von 2- und 3-Zellen konstruierten CW-Komplex $X^{+}$ und eine Inklusion $j:X\rightarrow X^{+}$ , so dass der induzierte Morphismus der Fundamentalgruppen

j_{*}:\pi _{1}X\rightarrow \pi _{1}X^{+}

die Quotientenabbildung $\pi _{1}X\to \pi _{1}X/N$ und die induzierten Morphismen der Homologiegruppen

j_{n}:H_{n}(X;\mathbb {Z} )\rightarrow H_{n}(X^{+};\mathbb {Z} )

für alle $n\in \mathbb {N}$ Isomorphismen sind.

Konstruktion/Beweisidee: Seien $\left\{e_{i}:S^{1}\rightarrow X\right\}_{i\in I}$ Repräsentanten für ein Erzeugendensystem von $N$ . Durch Ankleben von 2-Zellen $\left\{D_{i}\right\}_{i\in I}$ mittels der Abbildungen $e_{i}:\partial D_{i}\rightarrow X$ erhält man einen CW-Komplex $X^{\prime }$ , so dass der durch die Inklusion $X\to X^{\prime }$ erzeugte Homomorphismus der Fundamentalgruppen die Quotientenabbildung $\pi _{1}X\to \pi _{1}X/N$ ist. Sei ${\widetilde {X^{\prime }}}$ die universelle Überlagerung von $X^{\prime }$ und ${\widetilde {X}}\subset {\widetilde {X^{\prime }}}$ das Urbild von $X$ , also $\pi _{1}{\widetilde {X}}=N$ und (weil $N$ perfekt ist) $H_{1}({\widetilde {X}})=0$ . Analog zu oben hat man einen Isomorphismus $H_{2}({\widetilde {X^{\prime }}})=H_{2}({\widetilde {X}})\oplus H_{2}({\widetilde {X^{\prime }}},{\widetilde {X}})$ und der Summand $H_{2}({\widetilde {X^{\prime }}},{\widetilde {X}})$ ist der von den $\left\{D_{i}\right\}_{i\in I}$ erzeugte freie $\mathbb {Z} \left[\pi _{1}X/N\right]$ -Modul. Weil ${\widetilde {X^{\prime }}}$ einfach zusammenhängend ist, gibt es $\left[D_{i}\right]\in H_{2}(X^{\prime })$ realisierende Abbildungen $f_{i}:S^{2}\rightarrow X^{\prime }$ und durch Ankleben von 3-Zellen $\left\{E_{i}\right\}_{i\in I}$ mittels der Abbildungen $f_{i}:\partial E_{i}\rightarrow X^{\prime }$ erhält man wieder einen einfach zusammenhängenden CW-Komplex $X^{+}$ mit den gewünschten Eigenschaften.

Funktorialität

Es sei $f\colon X\to Y$ eine stetige Abbildung zwischen zusammenhängenden CW-Komplexen und es seien $N_{X}\subset \pi _{1}X,N_{Y}\subset \pi _{1}Y$ perfekte Normalteiler mit $f_{*}(N_{X})\subset N_{Y}$ . Dann induziert $f$ eine bis auf Homotopie eindeutige stetige Fortsetzung $f^{+}\colon X^{+}\to Y^{+}$ .^[1]

Homotopiefaser

Sei $BG$ der klassifizierende Raum einer diskreten Gruppe $G$ und $N\subset G$ ein perfekter Normalteiler. Sei $F$ die Homotopiefaser der Plus-Konstruktion $BG\to BG^{+}$ , dann ist $\pi _{1}F$ die universelle zentrale Erweiterung von $N$ und $\pi _{2}(BG^{+})=H_{2}(N;\mathbb {Z} )$ .^[2]

Algebraische K-Theorie

Sei $R$ ein unitärer Ring, $GL(R)=\bigcup _{n\geq 0}GL(n,R)$ die Gruppe der invertierbaren Matrizen über $R$ und $BGL(R)$ der klassifizierende Raum von $GL(R)$ , d. h. ein asphärischer Raum mit Fundamentalgruppe $GL(R)$ . Weil die Gruppe der Elementarmatrizen $E(R)=\left[GL(R),GL(R)\right]$ perfekt und ein Normalteiler ist, kann man die Plus-Konstruktion anwenden. Die algebraische K-Theorie des Ringes $R$ ist definiert als

K_{i}(R):=\pi _{i}(BGL^{+}(R))

für $i\geq 1$ .

Beispiel: endliche Körper

Sei $K$ ein endlicher Körper mit $q$ Elementen, dann gibt es nach einem Satz von Quillen eine Homotopieäquivalenz

BGL(k)^{+}\simeq E\Psi ^{q}

,

wobei $E\Psi ^{q}$ die Faser der Abbildung

\Psi ^{q}-Id:BU\rightarrow BU

(für $\Psi ^{q}$ die Wirkung der Adams-Operation auf dem klassifizierenden Raum der unitären Gruppe) ist. Die Homotopiegruppen von $E\Psi ^{q}$ können mit Bott-Periodizität berechnet werden, als Ergebnis erhält man

K_{2i}(K)=0,K_{2i-1}(K)=\mathbb {Z} /(q^{i}-1)\mathbb {Z}

.

H-Raum

$BGL^{+}(R)$ ist ein H-Raum mittels einer von Loday definierten Verknüpfung.^[3] Die Plus-Konstruktion ist universell für Abbildungen in H-Räume, d. h. jede stetige Abbildung $BGL(R)\to H$ in einen H-Raum $H$ faktorisiert über $BGL^{+}(R)$ .

Literatur

Daniel Quillen: Cohomology of groups. Actes Congrès Internat. Math. , 2 , Gauthier-Villars (1973) S. 47–51 pdf
Jonathan Rosenberg: Algebraic K-theory and its applications. Graduate Texts in Mathematics, 147. Springer-Verlag, New York, 1994. ISBN 0-387-94248-3
Charles Weibel: The K-book. An introduction to algebraic K-theory. Graduate Studies in Mathematics, 145. American Mathematical Society, Providence, RI, 2013. ISBN 978-0-8218-9132-2
Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. ISBN 0-521-79160-X pdf
Jean-Claude Hausmann; Dale Husemoller: Acyclic maps. Enseign. Math. (2) 25 (1979), no. 1-2, 53–75

Weblinks

Plus construction (Encyclopedia of Mathematics)
Shah: The Quillen plus construction in algebraic K-theory
Hausmann: Homology bordism and Quillen plus construction
Friedlander: An introduction to K-theory

Einzelnachweise

↑ Rosenberg, op.cit., Proposition 5.2.4
↑ Weibel, op.cit., Proposition IV.1.7
↑ Jean Louis Loday: Structure multiplicative en K-théorie algébrique. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A 279 (1974), 321–324.

[1] Rosenberg, op.cit., Proposition 5.2.4

[2] Weibel, op.cit., Proposition IV.1.7

[3] Jean Louis Loday: Structure multiplicative en K-théorie algébrique. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A 279 (1974), 321–324.

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