Total reelle Untermannigfaltigkeit

Total reelle Untermannigfaltigkeiten kommen in der komplexen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, vor. Sie verallgemeinern das Konzept, den reellen Vektorraum $\mathbb {R} ^{n}$ als Unterraum des komplexen Raumes $\mathbb {C} ^{n}$ aufzufassen.

Definition

Es sei $(M,J)$ eine fastkomplexe Mannigfaltigkeit. Das heißt, $J\colon TM\to TM$ ist eine glatte Abbildung des Tangentialbündels von $M$ auf sich derart, dass die Einschränkungen $J|_{T_{x}M}\colon T_{x}M\to T_{x}M$, für alle $x\in M$, Vektorraumautomorphismen sind und $J|_{T_{x}M}\circ J|_{T_{x}M}=-\operatorname {id} _{T_{x}M}$ genügen.

Eine immersierte Untermannigfaltigkeit $N$ von $M$ heißt nun total reell, wenn $T_{y}N\cap J(T_{y}N)={\vec {0}}$ für alle $y\in N$ gilt.

Von all den Vektoren, die im Punkt $y$ tangential zu $N$ liegen, bildet die fastkomplexe Struktur $J$ also ausschließlich den Nullvektor wieder auf einen Tangentialvektor von $N$ ab. Anschaulich gesprochen haben die Punkte von $N$ also nur „reelle“ Tangentialvektoren und keine tatsächlich „komplexen“.

Beispiele

• $\mathbb {R} ^{n}\subset \mathbb {C} ^{n}$ ist total reell.
• Eine Lagrangesche Untermannigfaltigkeit einer symplektischen Mannigfaltigkeit ist total reell.

Literatur

• Bang-Yen Chen, "Riemannian submanifolds”, 187–418. in: Handbook of differential geometry. Vol. I. Edited by Franki J. E. Dillen and Leopold C. A. Verstraelen. North-Holland, Amsterdam, 2000. ISBN 0-444-82240-2
• Michèle Audin, François Lalonde, Leonid Polterovich: "Symplectic rigidity: Lagrangian submanifolds”, 271–321. in: Holomorphic curves in symplectic geometry. Edited by Michèle Audin and Jacques Lafontaine. Progress in Mathematics, 117. Birkhäuser Verlag, Basel, 1994. ISBN 3-7643-2997-1