Das Salinon (griechisch vermutlich für „Salzfässchen“[1]) ist eine aus vier Halbkreisen gebildete, spiegelsymmetrische geometrische Figur. Sie wurde erstmals vermutlich durch Archimedes in seinem Buch der Lemmata beschrieben.

Das Salinon (blau) …
… und der rote Kreis sind flächengleich.

Konstruktion

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  sei der Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems. Auf der  -Achse liegen außen die beiden Punkte   und   (jeweils mit gleichem Abstand zu  ) und innen die Punkte   und   (ebenfalls mit gleichem Abstand zu  ); damit ist  . Man errichte einen Halbkreis über  , sowie zwei kleinere, gleich große Halbkreise über   und  . Schließlich zeichne man einen vierten Halbkreis unter  . Das Salinon ist die durch diese vier Halbkreise begrenzte Figur (blau in der Abbildung). Sie schneidet die  -Achse in den Punkten   und  .

Eigenschaften

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Salinon
 
Arbelos

Archimedes beschrieb die Eigenschaften des Salinon als Satz 14 in seinem Buch der Lemmata unter Bezug auf Euklids Elemente, Buch 2, Proposition 10.

Bezeichnet man den Radius des großen Halbkreises ( ) mit   und den des kleinen, mittleren Halbkreises ( ) mit  , so gilt für die Fläche   des Salinon:

 

Beweis:

Aus dem Ansatz
 
folgt nach einigen elementaren Termumformungen die obige Aussage.

Weiterhin lässt sich hieraus folgern, dass der Kreis mit dem Durchmesser   (rot in der Abbildung) denselben Flächeninhalt hat wie das Salinon.

Beweis:

Der Durchmesser dieses Kreises ist die Summe aus dem Radius   des Halbkreises über   und dem Radius   des Halbkreises über  , also beträgt sein Radius
 
und somit seine Flächenmaßzahl
 .

Darüber hinaus hat das Salinon folgende weiteren Eigenschaften:

  • Die Punkte auf den vier Halbkreisen mit dem jeweils größten Abstand zur  -Achse (darunter   und  ) bilden ein Quadrat.
  • Wenn der Durchmesser des Halbkreises unter   zu Null wird (die Punkte   und   also in   zusammenfallen), geht das Salinon in einen zur  -Achse spiegelsymmetrischen Arbelos über, eine weitere Figur aus Halbkreisen, deren Untersuchung Archimedes zugeschrieben wird.

Siehe auch

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Literatur

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  • Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie – Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 156/157
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Commons: Salinon – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

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  1. Zur Namensherkunft vgl. Archimedes’ Werke. Mit modernen Bezeichnungen hrsg. von Sir Thomas L. Heath. Deutsch von Dr. Fritz Kliem. Berlin: Häring, 1914, S. 21–23, Anm. 3.