Sattel-Knoten-Bifurkation

Die Sattel-Knoten-Bifurkation (englisch saddle-node bifurcation), Falten-Bifurkation (engl. fold bifurcation), Tangenten-Bifurkation (engl. tangent bifurcation), limit point oder turning point ist ein bestimmter Typ einer Bifurkation eines nichtlinearen dynamischen Systems.

Bifurkationsdiagramm einer Sattel-Knoten-Bifurkation. Stabile Fixpunkte sind rot, instabile blau dargestellt.

Die Normalform der Sattel-Knoten-Bifurkation lautet

${\dot {x}}=\mu -x^{2},$

wobei $\mu$ der Bifurkationsparameter ist.

Diese Normalform hat für $\mu \geq 0$ Fixpunkte:

${x_{1/2}}^{*}=\pm {\sqrt {\mu }}.$

Das bedeutet, es existiert für $\mu <0$ kein Fixpunkt, für $\mu =0$ genau ein Fixpunkt und sonst zwei. Der erste Fixpunkt ist stabil (Knoten), der zweite instabil (Sattel). Am Bifurkationspunkt $\mu =0$ kollidieren Sattel und Knoten. Betrachtet man ein System mit höherer Ordnung in $x$

${\dot {x}}=\mu -x^{2}+O(x^{3}),$

so beeinflussen diese Terme in einer genügend kleinen Umgebung um den Sattel-Knoten-Punkt $\mu =0$ das Verhalten des Systems nicht. Das heißt, das System ist lokal topologisch äquivalent am Ursprung zur Normalform. Allgemein ist die Bifurkation dadurch charakterisiert, dass ein Eigenwert der Jacobimatrix $D_{x}f(x,\mu )$ des dynamischen Systems ${\dot {x}}=f(x,\mu )$ bei einem kritischen Wert des Bifurkationsparameters Null wird.

Siehe auch

• Pitchfork-Bifurkation
• Hopf-Bifurkation
• Transkritische Bifurkation

Literatur

• Yuri A. Kuznetsov: Elements of Applied Bifurcation Theory (= Applied Mathematica Sciences. Band 112). 2. Auflage. Springer, 1995, ISBN 0-387-98382-1.