Tangentenviereck

Ein Tangentenviereck ist ein Viereck, dessen Seiten Tangenten eines Kreises sind. Diesen Kreis nennt man den Inkreis des Tangentenvierecks. Ein solches Tangentenviereck ist immer konvex. Vierecke, bei denen lediglich die verlängerten Seiten Tangenten eines Kreises sind und die damit auch nicht notwendigerweise konvex sein müssen, sind keine Tangentenvierecke im Sinne der hiesigen Definition. Spezielle Tangentenvierecke sind das Quadrat, die Raute und das Drachenviereck.

Eigenschaften

Für jedes Tangentenviereck gilt der Satz von Pitot: Die Summe der Längen zweier gegenüberliegender Seiten ist gleich der Summe der Längen der anderen beiden Seiten. Es gilt also

a+c=b+d

Beweis (siehe Skizze unten):

a+c=e+f+g+h

b+d=e+h+f+g

also

a+c=b+d

Umgekehrt gilt auch, dass jedes konvexe Viereck mit $a+c=b+d$ einen Inkreis besitzt und somit ein Tangentenviereck ist. Der Satz von Pitot und seine Umkehrung werden zusammen auch als Satz vom Tangentenviereck bezeichnet.

Der Mittelpunkt des Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden aller vier Innenwinkel. Deshalb müssen sich beim Tangentenviereck alle Winkelhalbierenden auch in einem Punkt schneiden.

Außerdem ist ein Viereck, das kein Trapez ist, genau dann ein Tangentenviereck, wenn folgenden Bedingungen gelten (siehe Skizze):

Dabei ist E der Schnittpunkt der Geraden $AB$ und $CD$ und F ist der Schnittpunkt der Geraden $BC$ und $DA$ .

Beweis siehe Wikibooks Beweisarchiv.

Sind P, Q, R, S die Fußpunkte der Lote des Inkreismittelpunkts M auf die Seiten AB, BC, CD, DA und $r$ der Inkreisradius des Tangentenvierecks, dann sind die rechtwinkligen Dreiecke MSA und APM nach dem Kongruenzsatz SWS kongruent, weil sie die Seite AM gemeinsam haben und außerdem ${\overline {MS}}={\overline {MP}}=r$ und $\angle MSA=\angle APM=90^{\circ }$ gilt. Daraus folgt, dass die Innenwinkel dieser rechtwinkligen Dreiecke jeweils gleich sind, also gilt auch $\angle AMS=\angle PMA$ . Entsprechend gilt $\angle BMP=\angle QMB$ , $\angle CMQ=\angle RMC$ und $\angle DMR=\angle SMD$ . Die Summe dieser acht Teilwinkel am Inkreismittelpunkt M ist gleich 360°. Daraus folgt schließlich $\angle BMA+\angle DMC=\angle PMA+\angle BMP+\angle RMC+\angle DMR=180^{\circ }$ und $\angle CMB+\angle AMD=\angle QMB+\angle CMQ+\angle SMD+\angle AMS=180^{\circ }$ , also $\angle BMA+\angle DMC=\angle CMB+\angle AMD=180^{\circ }$ . Die Summe der gegenüber liegenden Winkel am Inkreismittelpunkt beträgt also jeweils 180°.^[1]

Formeln

Mathematische Formeln zum Tangentenviereck
Flächeninhalt	$A=r\cdot (a+c)=r\cdot (b+d)$
	$A={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {p^{2}\cdot q^{2}-(a\cdot c-b\cdot d)^{2}}}$
	$A={\sqrt {(e+f+g+h)\cdot (e\cdot f\cdot g+f\cdot g\cdot h+g\cdot h\cdot e+h\cdot e\cdot f)}}$
	$A={\sqrt {a\cdot b\cdot c\cdot d-(e\cdot g-f\cdot h)^{2}}}$
	$A={\sqrt {a\cdot b\cdot c\cdot d}}\cdot \sin \left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)={\sqrt {a\cdot b\cdot c\cdot d}}\cdot \sin \left({\frac {\beta +\delta }{2}}\right)$
Umfang	$U=2\cdot (a+c)=2\cdot (b+d)$
Länge der Diagonalen	$p={\sqrt {\frac {(e+g)\cdot [(e+g)\cdot (f+h)+4\cdot f\cdot h]}{f+h}}}$
Länge der Diagonalen	$q={\sqrt {\frac {(f+h)\cdot [(e+g)\cdot (f+h)+4\cdot e\cdot g]}{e+g}}}$
Inkreisradius	$r={\frac {A}{a+c}}={\frac {A}{b+d}}$
Inkreisradius	$r={\sqrt {\frac {e\cdot f\cdot g+f\cdot g\cdot h+g\cdot h\cdot e+h\cdot e\cdot f}{e+f+g+h}}}$

Mithilfe des Satz des Pythagoras und des Kosinussatz erhält man die Längen der tangentialen Sehnen $k={\overline {PR}}$ und $l={\overline {QS}}$ . Es gilt

k={\sqrt {\frac {e\cdot f\cdot g+f\cdot g\cdot h+g\cdot h\cdot e+h\cdot e\cdot f}{(e+f)\cdot (g+h)\cdot (e+g)\cdot (f+h)}}}

l={\sqrt {\frac {e\cdot f\cdot g+f\cdot g\cdot h+g\cdot h\cdot e+h\cdot e\cdot f}{(e+h)\cdot (f+g)\cdot (e+g)\cdot (f+h)}}}

Daraus ergibt sich das Längenverhältnis^[1]

{\frac {k}{l}}={\sqrt {\frac {(f+g)\cdot (e+h)}{(e+f)\cdot (g+h)}}}={\sqrt {\frac {b\cdot d}{a\cdot c}}}

Gleichungen

Für die Winkel jedes Tangentenvierecks gelten folgende Gleichungen:^[1]^[2]

\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)={\sqrt {\frac {e\cdot f\cdot g+f\cdot g\cdot h+g\cdot h\cdot e+h\cdot e\cdot f}{(e+f)\cdot (e+g)\cdot (e+h)}}}

\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)={\sqrt {\frac {e\cdot f\cdot g+f\cdot g\cdot h+g\cdot h\cdot e+h\cdot e\cdot f}{(f+e)\cdot (f+g)\cdot (f+h)}}}

\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)={\sqrt {\frac {e\cdot f\cdot g+f\cdot g\cdot h+g\cdot h\cdot e+h\cdot e\cdot f}{(g+e)\cdot (g+f)\cdot (g+h)}}}

\sin \left({\frac {\delta }{2}}\right)={\sqrt {\frac {e\cdot f\cdot g+f\cdot g\cdot h+g\cdot h\cdot e+h\cdot e\cdot f}{(h+e)\cdot (h+f)\cdot (h+g)}}}

\tan \left({\frac {\angle ABD}{2}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\angle BDC}{2}}\right)=\tan \left({\frac {\angle ADB}{2}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\angle DBC}{2}}\right)

Sehnentangentenviereck

Vereinfachte Flächeninhaltsberechnung

Ein interessanter Spezialfall liegt vor, wenn ein Tangentenviereck die Bedingung

\alpha +\gamma =\beta +\delta

erfüllt. Unter dieser Voraussetzung ist das Tangentenviereck zugleich ein Sehnenviereck, also ein Viereck mit Inkreis und Umkreis, und wird deshalb auch als Sehnentangentenviereck bezeichnet. Die Formel für den Flächeninhalt liefert in diesem Fall das einfache Ergebnis

A={\sqrt {a\cdot b\cdot c\cdot d}}

Spezielle Eigenschaften

Sehnentangentenviereck

Da die Konstruktion eines Sehnentangentenvierecks aufwändiger ist als die eines reinen Sehnen-, bzw. Tangentenvierecks, liefert der nachfolgende Satz ein Kriterium, welches die Konstruktion erleichtert:

Ein Tangentenviereck ist genau dann ein Sehnentangentenviereck, wenn die Verbindungsstrecken gegenüberliegender Berührpunkte des Inkreises senkrecht aufeinander stehen.

Beweis:

Zu zeigen ist, dass das Tangentenviereck $ABCD$ genau dann zugleich ein Sehnenviereck ist, wenn $\phi =90^{\circ }$ gilt.

Anders ausgedrückt ist somit zu zeigen:

\beta +\delta =180^{\circ }\Leftrightarrow \phi =90^{\circ }

Da die beiden Dreiecke $EGM_{1}$ und $FHM_{1}$ gleichschenklig sind, haben die Winkel $\angle M_{1}GE$ und $\angle GEM_{1}$ jeweils die Weite $\alpha$ und die Winkel $\angle HFM_{1}$ und $\angle M_{1}HF$ jeweils die Weite $\gamma$ .

Das Viereck $SECF$ hat die Innenwinkelsumme

(90^{\circ }-\alpha )+\beta +(90^{\circ }+\gamma )+\phi =360^{\circ }\Leftrightarrow \beta =\alpha -\gamma -\phi +180^{\circ }

.

Das Viereck $AHSG$ hat die Innenwinkelsumme

\delta +(90^{\circ }-\gamma )+\phi +(90^{\circ }+\alpha )=360^{\circ }\Leftrightarrow \delta =\gamma -\phi -\alpha +180^{\circ }

.

Nach Addition dieser beiden Gleichungen erhält man:

\beta +\delta =360^{\circ }-2\phi

Also ist $\beta +\delta =180^{\circ }$ genau dann, wenn $\phi =90^{\circ }$ , was zu zeigen war.^[3]

Siehe auch

Literatur

Hartmut Wellstein, Peter Kirsche: Elementargeometrie. Springer, 2009, ISBN 978-3-8348-0856-1, S. 60-61
Siegfried Krauter, Christine Bescherer: Erlebnis Elementargeometrie: Ein Arbeitsbuch zum selbstständigen und aktiven Entdecken. Springer, 2012, ISBN 978-3-8274-3025-0, S. 77-78
Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie. Springer 2016, ISBN 978-3-662-53034-4, S. 21; Auszug (PDF; 4,1 MB)

Weblinks

Commons: Tangentenviereck – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Tangentenviereck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Eric W. Weisstein: Tangential Quadrilateral. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

↑ ^a ^b ^c Martin Josefsson: Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral, Forum Geometricorum
↑ Nicusor Minculete: Characterizations of a Tangential Quadrilateral, Forum Geometricorum
↑ Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 133–134.

[:0-1] Martin Josefsson: Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral, Forum Geometricorum

[2] Nicusor Minculete: Characterizations of a Tangential Quadrilateral, Forum Geometricorum

[3] Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 133–134.

[1]

[2]

[3]