Ein Tangentenviereck ist ein Viereck, dessen Seiten Tangenten eines Kreises sind. Diesen Kreis nennt man den Inkreis des Tangentenvierecks. Ein solches Tangentenviereck ist immer konvex. Vierecke, bei denen lediglich die verlängerten Seiten Tangenten eines Kreises sind und die damit auch nicht notwendigerweise konvex sein müssen, sind keine Tangentenvierecke im Sinne der hiesigen Definition. Spezielle Tangentenvierecke sind das Quadrat, die Raute und das Drachenviereck.

Ein Tangentenviereck ABCD mit Inkreis k

Eigenschaften

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Für jedes Tangentenviereck gilt der Satz von Pitot: Die Summe der Längen zweier gegenüberliegender Seiten ist gleich der Summe der Längen der anderen beiden Seiten. Es gilt also

 

Beweis (siehe Skizze unten):

 
 

also

 

Umgekehrt gilt auch, dass jedes konvexe Viereck mit   einen Inkreis besitzt und somit ein Tangentenviereck ist. Der Satz von Pitot und seine Umkehrung werden zusammen auch als Satz vom Tangentenviereck bezeichnet.

Der Mittelpunkt des Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden aller vier Innenwinkel. Deshalb müssen sich beim Tangentenviereck alle Winkelhalbierenden auch in einem Punkt schneiden.

Außerdem ist ein Viereck, das kein Trapez ist, genau dann ein Tangentenviereck, wenn folgenden Bedingungen gelten (siehe Skizze):

 

Dabei ist E der Schnittpunkt der Geraden   und   und F ist der Schnittpunkt der Geraden   und  .

Beweis siehe Wikibooks Beweisarchiv.

Sind P, Q, R, S die Fußpunkte der Lote des Inkreismittelpunkts M auf die Seiten AB, BC, CD, DA und   der Inkreisradius des Tangentenvierecks, dann sind die rechtwinkligen Dreiecke MSA und APM nach dem Kongruenzsatz SWS kongruent, weil sie die Seite AM gemeinsam haben und außerdem   und   gilt. Daraus folgt, dass die Innenwinkel dieser rechtwinkligen Dreiecke jeweils gleich sind, also gilt auch  . Entsprechend gilt  ,   und  . Die Summe dieser acht Teilwinkel am Inkreismittelpunkt M ist gleich 360°. Daraus folgt schließlich   und  , also  . Die Summe der gegenüber liegenden Winkel am Inkreismittelpunkt beträgt also jeweils 180°.[1]

Mathematische Formeln zum Tangentenviereck
Flächeninhalt    
 
 
 
 
Umfang  
Länge der Diagonalen  
 
Inkreisradius  
 

Mithilfe des Satz des Pythagoras und des Kosinussatz erhält man die Längen der tangentialen Sehnen   und  . Es gilt

 
 

Daraus ergibt sich das Längenverhältnis[1]

 

Gleichungen

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Für die Winkel jedes Tangentenvierecks gelten folgende Gleichungen:[1][2]

 
 
 
 
 

Sehnentangentenviereck

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Vereinfachte Flächeninhaltsberechnung

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Ein interessanter Spezialfall liegt vor, wenn ein Tangentenviereck die Bedingung

 

erfüllt. Unter dieser Voraussetzung ist das Tangentenviereck zugleich ein Sehnenviereck, also ein Viereck mit Inkreis und Umkreis, und wird deshalb auch als Sehnentangentenviereck bezeichnet. Die Formel für den Flächeninhalt liefert in diesem Fall das einfache Ergebnis

 

Spezielle Eigenschaften

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Sehnentangentenviereck

Da die Konstruktion eines Sehnentangentenvierecks aufwändiger ist als die eines reinen Sehnen-, bzw. Tangentenvierecks, liefert der nachfolgende Satz ein Kriterium, welches die Konstruktion erleichtert:

Ein Tangentenviereck ist genau dann ein Sehnentangentenviereck, wenn die Verbindungsstrecken gegenüberliegender Berührpunkte des Inkreises senkrecht aufeinander stehen.

Beweis:

Zu zeigen ist, dass das Tangentenviereck   genau dann zugleich ein Sehnenviereck ist, wenn   gilt.

Anders ausgedrückt ist somit zu zeigen:

 

Da die beiden Dreiecke   und   gleichschenklig sind, haben die Winkel   und   jeweils die Weite   und die Winkel   und   jeweils die Weite  .

Das Viereck   hat die Innenwinkelsumme

 .

Das Viereck   hat die Innenwinkelsumme

 .

Nach Addition dieser beiden Gleichungen erhält man:

 

Also ist   genau dann, wenn  , was zu zeigen war.[3]

Siehe auch

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Literatur

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  • Hartmut Wellstein, Peter Kirsche: Elementargeometrie. Springer, 2009, ISBN 978-3-8348-0856-1, S. 60-61
  • Siegfried Krauter, Christine Bescherer: Erlebnis Elementargeometrie: Ein Arbeitsbuch zum selbstständigen und aktiven Entdecken. Springer, 2012, ISBN 978-3-8274-3025-0, S. 77-78
  • Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie. Springer 2016, ISBN 978-3-662-53034-4, S. 21; Auszug (PDF; 4,1 MB)
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Commons: Tangentenviereck – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Tangentenviereck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

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  1. a b c Martin Josefsson: Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral, Forum Geometricorum
  2. Nicusor Minculete: Characterizations of a Tangential Quadrilateral, Forum Geometricorum
  3. Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 133–134.