Satz von Banach-Steinhaus

mathematischer Satz

Der Satz von Banach-Steinhaus ist eines der fundamentalen Ergebnisse der Funktionalanalysis, einem der Teilgebiete der Mathematik. In der Literatur werden häufig drei verschiedene, aber miteinander verwandte Sätze als Satz von Banach-Steinhaus bezeichnet. Die abstrakteste Fassung ist auch als Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit bekannt, welches seinerseits aus dem Satz von Osgood folgt. Die beiden anderen Fassungen sind Folgerungen aus diesem. Ebenso wie der Satz über die offene Abbildung beruhen diese Sätze auf dem berühmten Kategoriensatz von Baire. Zusammen mit dem Satz von Hahn-Banach gelten all diese Sätze als Eckpfeiler des Gebiets.

Hugo Steinhaus und Stefan Banach veröffentlichten den Satz 1927. Er wurde jedoch unabhängig davon auch von Hans Hahn bewiesen. Er findet sich aber schon im Wesentlichen 1912 bei Eduard Helly.[1]

Satz von Banach-Steinhaus

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Seien   und   Banachräume und     mit       eine Folge stetiger linearer Operatoren.

Dann gilt:   konvergiert punktweise gegen einen stetigen linearen Operator genau dann, wenn die beiden nachstehenden Bedingungen erfüllt sind:

  1. Die Operatornormenfolge   ist eine beschränkte Folge innerhalb der reellen Zahlen.
  2. Es existiert in   eine dichte Teilmenge  , so dass für jedes   die Folge   innerhalb   konvergiert.

Satz von Banach-Steinhaus (Variante)

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Sei   ein Banachraum,   ein normierter Raum und     mit       eine Folge stetiger linearer Operatoren.

Dann gilt: Falls   punktweise konvergiert, so definiert       einen stetigen linearen Operator   und es gilt  

Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit

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Sei   ein Banachraum,   ein normierter Vektorraum und   eine Familie stetiger, linearer Operatoren von   nach  .

Dann folgt aus der punktweisen Beschränktheit

  für alle  

die gleichmäßige Beschränktheit

 

Beweis des Prinzips der gleichmäßigen Beschränktheit

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Setze   für  . Diese Mengen sind offensichtlich abgeschlossen und nach Annahme gilt  . Als Banach-Raum ist   vollständig metrisierbar und damit ein Baire-Raum (siehe den Baire’schen Kategoriensatz), somit darf es nicht sein, dass alle   mager sind. Es existiert also ein  , so dass   nicht mager ist. Wegen Abgeschlossenheit heißt dies,   ist irgendwo dicht. Das heißt, es gibt ein   und ein  , so dass  . Für jedes   und   mit   gilt nun

 .

Folglich   für alle  , sodass   eine gleichmäßige Schranke für die Menge   ist.

Anmerkungen

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  • Punktweise Konvergenz von Operatoren wird in Abgrenzung zur schwachen Konvergenz auch als starke Konvergenz bezeichnet und sollte nicht mit der noch stärkeren Normkonvergenz verwechselt werden.
  • Für das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit ist die Vollständigkeit von   eine wesentliche Voraussetzung und die Aussage ist ohne die Vollständigkeit im Allgemeinen falsch. Ein Gegenbeispiel sieht man auf  , dem Vektorraum der abbrechenden Folgen (z. B. mit 1-Norm). Hierauf definiert man die linearen Operatoren  . Die Familie   erfüllt auf diesem   zwar die punktweise Beschränktheit, allerdings gilt   und somit  
  • Falls man wie in der Hauptfassung lediglich punktweise Konvergenz auf einer dichten Teilmenge   voraussetzt, muss die Beschränktheit der Folge   der Operatornormen zusätzlich vorausgesetzt werden.
  • Am einfachsten folgt obige Hauptfassung mit Hilfe der Variante und diese wiederum aus dem Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit.

Folgerungen

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  • Jede schwach konvergente Folge eines normierten Vektorraums ist beschränkt.
  • Eine bilineare Abbildung   auf Banachräumen   ist stetig genau dann wenn die Abbildungen   für alle   und   für alle   stetig sind.

Verallgemeinerungen

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Für lineare Operatoren auf tonnelierten Räumen

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Die allgemeine Form des Satzes gilt für tonnelierte Räume:

Ist   ein tonnelierter Raum,   ein lokalkonvexer Raum, so gilt: Jede Familie punktweise beschränkter, stetiger, linearer Operatoren von   nach   ist gleichgradig stetig (sogar gleichmäßig gleichgradig stetig).

Die tonnelierten Räume sind gerade diejenigen lokalkonvexen Räume, in denen der Satz von Banach-Steinhaus gilt.

Für stetige reellwertige Funktionen auf vollständigen metrischen Räumen

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Bei Hirzebruch-Scharlau findet man die folgende sehr allgemeine Version des Beschränktheitprinzips im Kontext der vollständigen metrische Räume:[2]

Gegeben sei ein vollständiger metrischer Raum   und weiter eine Familie   von stetigen reellwertigen Funktionen

   ,

welche punktweise gleichmäßig nach oben beschränkt sei:

   .

Dann gibt es in   eine nicht-leere offene Teilmenge   derart, dass die Familie   der auf   eingeschränkten Funktionen sogar gleichmäßig nach oben beschränkt ist, also der Bedingung

 

genügt.

Für stetige reellwertige Funktionen auf topologischen Räumen

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Es existiert darüber hinaus eine sehr weit reichende Verallgemeinerung für stetige reellwertige Funktionen auf beliebigen topologischen Räumen. Diese ist Inhalt des Satzes von Osgood in der Funktionalanalysis.

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Harry Hochstadt: Eduard Helly, father of the Hahn-Banach theorem. In: The Mathematical Intelligencer, Band 2, 1980, Nr. 3, S. 123–125
  2. Hirzebruch, Scharlau: Einführung in die Funktionalanalysis. 1971, S. 22