Satz von Borel-Weil

In der Mathematik gibt der Satz von Borel-Weil eine geometrische Beschreibung der Darstellungen von Lie-Gruppen. Er ist ein Spezialfall des allgemeineren Satzes von Borel-Weil-Bott, der alle irreduziblen Darstellungen beschreibt.

Der Satz beschreibt die Darstellungen höchsten Gewichts halbeinfacher Lie-Gruppen, d. h., er gibt eine explizite Konstruktion der durch den Satz vom höchsten Gewicht gegebenen Darstellungen.

Konstruktion

Sei $G$ eine halbeinfache Lie-Gruppe, $B\subset G$ eine Borel-Untergruppe und $G/B$ die Fahnenvarietät.

Zu einer 1-dimensionalen Darstellung $\lambda \colon B\to \mathbb {C} ^{*}$ hat man ein Linienbündel $L_{\lambda }$ über $G/B$ definiert durch

$G\times \mathbb {C} /\sim$

$(g,z)\sim (gb,\rho (b^{-1})z)\ \quad \forall b\in B$

Die Wirkung von $G$ auf $\Gamma (L_{\lambda })$, den holomorphe Schnitten dieses Linienbündels, definiert durch

$(g_{1}\cdot s)(g_{2}B)=s(g_{1}^{-1}g_{2}B)\ \quad \forall s\in \Gamma (L_{\lambda }),g_{1},g_{2}\in G$

eine Darstellung von $G$.

Satz von Borel-Weil

Sei $G$ eine halbeinfache Lie-Gruppe, $B\subset G$ eine Borel-Untergruppe und $B=TU$ ihre Zerlegung als Produkt ihres maximalen Torus und ihres unipotenten Radikals.

Wenn die Einschränkung von $\lambda$ auf $T$ ein dominantes integrales Element ist, dann ist $\Gamma (L_{\lambda })$ diejenige Darstellung von $G$, deren höchstes Gewicht die Einschränkung von $\lambda$ auf $T$ ist.

Andernfalls ist $\Gamma (L_{\lambda })=0$.

Beispiel: Darstellungen der SL(2,C)

Für $G=SL(2,C)$ können wir als Borel-Gruppe $B$ die Untergruppe der oberen Dreiecksmatrizen wählen. Jede 1-dimensionale Darstellung ist von der Form

$\rho _{n}\left({\begin{array}{cc}a&b\\0&{\frac {1}{a}}\end{array}}\right)=a^{n}$

für eine ganze Zahl $n$.

Die Fahnenvarietät ist $G/B=\mathbb {C} P^{1}$ mit homogenen Koordinaten $X,Y$ und die Schnitte des Linienbündels zur Darstellung $\rho _{n}$ entsprechen den homogenen Polynomen vom Grad $n$ in den Koordinaten $X,Y$. Diese bilden einen (n+1)-dimensionalen Vektorraum mit Basis $X^{n},X^{n-1}Y,X^{n-2}Y^{2},\ldots ,Y^{n}$. Man erhält also eine Darstellung der Dimension $n+1$ und wiederentdeckt den bekannten Satz, dass es zu jeder Dimension eine eindeutige irreduzible Darstellung von $SL(2,\mathbb {C} )$ gibt.

Weblinks

• Jacob Lurie: A proof of the Borel-Weil-Bott theorem
• Borel-Weil Theorem (nLab)