Satz von Bott-Samelson

In der Mathematik ist der Satz von Bott-Samelson ein Lehrsatz aus der algebraischen Topologie, mit dessen Hilfe man die Homologie von Schleifenräumen berechnen kann.

Satz

Sei $X$ ein wegzusammenhängender Raum, $\Sigma X$ seine Einhängung und $\Omega \Sigma X$ der Schleifenraum der Einhängung. Wir bezeichnen mit $\sigma X\to \Omega \Sigma X$ die adjungierte Abbildung zur Identitätsabbildung $id\colon \Sigma X\to \Sigma X$.

Sei $R$ ein Hauptidealring, so dass die Homologie $H_{*}(X;R)$ torsionsfrei ist. Wir bezeichnen mit ${\widetilde {H_{*}}}(X;R)$ die reduzierte Homologie.

Dann wird durch die Abbildung

$\sigma _{*}\colon {\widetilde {H_{*}}}(X;R)\to H_{*}(\Omega \Sigma X;R)$

für die erzeugte Tensoralgebra ein Isomorphismus von Algebren

$T({\widetilde {H_{*}}}(X;R))\to H_{*}(\Omega \Sigma X;R)$

induziert.

Beispiel

Für die Sphäre $S^{n}$ hat die reduzierte Homologie einen Erzeuger in Grad $n$ und ist in allen anderen Graden trivial. Mit dem Satz von Bott-Samelson ist dann wegen $\Sigma S^{n}=S^{n+1}$ also die Homologie von $\Omega S^{n+1}$ als Algebra isomorph zu der von einem Element in Grad $n$ erzeugten Tensoralgebra.

Insbesondere ist $H_{kn}(\Omega S^{n+1})=\mathbb {Z}$ für alle $k\geq 1$ und $H_{*}(\Omega S^{n+1})$ für alle $*\not =kn$.

Weblinks

• T. Cutler: The Bott-Samelson Theorem