Satz von Clairaut (Differentialgeometrie)

mathematischer Satz

Der Satz von Clairaut (benannt nach Alexis-Claude Clairaut) ist eine Aussage der klassischen Differentialgeometrie.

Sei   eine Rotationsfläche und   mit   eine reguläre Kurve auf  . Es bezeichne   den Radius des Breitenkreises durch   sowie   den Schnittwinkel der Kurve mit diesem Breitenkreis. Dann gelten:

  • Ist   eine geodätische Linie, so ist die Funktion   längs   konstant.
  • Ist   längs   konstant und   kein Breitenkreis, so ist   eine geodätische Linie.

Sei   eine Parametrisierung der Fläche  , wobei wir o. B. d. A.   als Bogenlänge der erzeugenden Kurve   annehmen können. Damit berechnen wir die Koeffizienten der 1. Fundamentalform zu

 ,  ,  .

Sei   o. B. d. A. nach der Bogenlänge   parametrisiert. Um den Satz von Liouville anwenden zu können, berechnen wir explizit die geodätischen Krümmungen der  -Linien (Breitenkreise) und  -Linien (Meridiane):

 

Daraus ergibt sich die geodätische Krümmung der Kurve   zu

  (1)

Differenzieren der Funktion   liefert:

 

Mit   folgt aus (1)

 

und damit die Behauptung.

Anwendung in der Landesvermessung

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In der Landesvermessung stellt sich das Problem, zu gegebenem Anfangspunkt und -richtung eine geodätische Linie zu berechnen, die sogenannte erste geodätische Hauptaufgabe.

Seien   und   die Halbachsen des Referenzellipsoids und   das Quadrat der (ersten) numerischen Exzentrizität. Der Radius des Breitenkreises mit der ellipsoidischen Breite   beträgt

 

Als Azimut bezeichnet man den Schnittwinkel der Linie mit der Nordrichtung. Damit folgt aus dem Satz von Clairaut die Konstanz von

 

entlang der Geodätischen. Führt man die reduzierte Breite   gemäß der Formel   ein, so folgt die Konstanz von

 

Dieser Wert heißt die clairautsche Konstante der geodätischen Linie.

Literatur

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  • Michael Spivak: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry. Band 3. 3rd edition. Publish or Perish Press, Houston TX 1999, ISBN 0-914098-72-1, S. 214–216.