Satz von Clement

von dem Mathematiker Paul Arnold Clement im Jahre 1949 vorgelegter Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Zahlentheorie

Der Satz von Clement (englisch Clement’s theorem) ist ein von dem Mathematiker Paul Arnold Clement[A 1] im Jahre 1949 vorgelegter Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Zahlentheorie, der sich mit der Untersuchung von charakteristischen Teilbarkeitseigenschaften bei Primzahlzwillingen befasst.[1][2][3] Er ist eng verbunden mit dem Satz von Wilson und wie dieser mit elementaren Methoden beweisbar, wobei sich sogar zeigt, dass der Clement’sche Satz eine Verallgemeinerung gestattet, welche den Wilson’schen Satz miteinschließt.[4]

Formulierung des Satzes

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Der Satz lässt sich folgendermaßen angeben:[1][2][3]

Für eine gegebene natürliche Zahl   ist das Paar   genau dann ein Primzahlzwilling, wenn die zugehörige natürliche Zahl   durch   teilbar ist.[A 2]
Mit anderen Worten: Es gilt für gegebenes   stets
 .[A 3]

Beispiele

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  1.   ist ein Primzahlzwilling, da   von   geteilt wird.
  2.   ist ein Primzahlzwilling, da   von   geteilt wird.
  3.   ist KEIN Primzahlzwilling, da   von   nicht geteilt wird.
  4.   ist KEIN Primzahlzwilling, da   von   nicht geteilt wird.
  5.   ist ein Primzahlzwilling, da   von   geteilt wird.
  6.   ist KEIN Primzahlzwilling, da   von   nicht geteilt wird.

Elementarer Beweis

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Der Darstellung in der Monographie von Wacław Sierpiński (s. u.) folgend lässt sich für den Satz ein elementarer Beweis angeben.[2] Als wesentlich erweist sich hierbei der Satz von Wilson sowie die Tatsache, dass für   stets die Kongruenz   und damit auch die Kongruenz

(K)  

Gültigkeit hat.

Der Beweis vollzieht sich dann in zwei Schritten wie folgt:

Beweisschritt 1

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Zunächst sei vorausgesetzt, dass   ist und dabei   und   beide prim sind.

Dann gilt nach Wilson

 

und damit

 .

Zugleich gilt aber wegen (K) und wieder nach Wilson auch die Kongruenz

 .

Also sind die Primzahlen   und   beide Teiler von  , was dann aber auch für ihr Produkt   gilt.

Beweisschritt 2

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Es sei nun andererseits vorausgesetzt, dass für   die Kongruenz   Gültigkeit habe.

Dies impliziert zunächst einmal, dass   ungerade sind: Denn nähme man   für ein   als gegeben an, so wäre   und damit   ein Teiler von   und ebenso   ein Teiler von  , was unmittelbar zu der Kongruenz   führt. Dies bedeutet jedoch voraussetzungsgemäß   und damit   oder  , was jedoch einen Widerspruch bedeutete, da doch beide Zahlen die obige Kongruenz offenbar nicht erfüllen.

Also impliziert die obige Voraussetzung, dass   sogar ein Teiler von   ist und folglich nach dem Wilson'schen Satz eine Primzahl sein muss.

Die obige Voraussetzung besagt indes ebenfalls, dass

 

gelten muss und damit wegen (K) auch, dass   ein Teiler von   ist.

Da jedoch mit   auch   eine ungerade Zahl ist, muss   dann sogar ein Teiler von   und folglich nach dem Wilson'schen Satz eine Primzahl sein.

Literatur

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Anmerkungen

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  1. Paul Arnold Clement promovierte im Jahre 1949 an der University of California, Los Angeles, unter der Anleitung von Edwin Ford Beckenbach zum Ph.D.
  2.   ist die Fakultätsfunktion.
  3.   ist die zahlentheoretische Kongruenzrelation.
  4. Rebecca Waldecker (Jahrgang 1979) ist Professorin für Algebra an der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg.

Einzelnachweise

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  1. a b Rebecca Waldecker, Lasse Rempe-Gillen: Primzahltests für Einsteiger. 2016, S. 168
  2. a b c Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers. 1988, S. 224
  3. a b Paulo Ribenboim: The New Book of Prime Number Records. 1996, S. 259
  4. Valeriu Popa: On a generalization of Clement’s theorem. In: Studii şi Cercetări Matematice 24, S. 1435–1440