Satz von Green

mathematischer Satz

Der Satz von Green (auch Green-Riemannsche Formel oder Lemma von Green, gelegentlich auch Satz von Gauß-Green) erlaubt es, das Integral über eine ebene Fläche durch ein Kurvenintegral auszudrücken. Der Satz ist ein Spezialfall des Satzes von Stokes. Erstmals formuliert und bewiesen wurde er 1828 von George Green in An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism.

Formulierung des Satzes

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Kompaktum D in der xy-Ebene mit abschnittsweise glattem Rand C.

Sei   ein Kompaktum in der xy-Ebene mit abschnittsweise glattem Rand   (siehe Abbildung). Weiter seien   stetige Funktionen mit den ebenfalls auf   stetigen partiellen Ableitungen   und  . Dann gilt:

 

Dabei bedeutet   das Kurvenintegral entlang   von  , also  , falls   durch eine stückweise stetig differenzierbare Kurve   beschrieben wird. Analog wird   definiert.

Sonderfall Wegunabhängigkeit

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Für den speziellen Fall, dass der Integrand   im Kurvenintegral rechts das totale Differential   einer skalaren Funktion   darstellt, d. h. es ist   und  , folgt nach dem Satz von Schwarz (Vertauschbarkeit der Reihenfolge der Ableitungen von   nach   und  ), dass

 

sein muss. Damit wird  , so dass das Flächenintegral links und damit das Kurvenintegral rechts über den geschlossenen Weg gleich null werden, d. h. der Wert der Funktion   hat sich nicht verändert.

Solche wegunabhängigen zweidimensionalen Funktionsänderungen treten beispielsweise in der Thermodynamik bei der Betrachtung von Kreisprozessen auf, wobei   dann dort für die innere Energie oder die Entropie des Systems steht.

Für dreidimensionale skalare Potentialfelder  , wie sie in der Mechanik z. B. das konservative Kraftfeld eines Newton’schen Gravitationspotential   beschreiben, kann die Wegunabhängigkeit über den allgemeineren Satz von Stokes ähnlich bewiesen werden.

Anwendungsbeispiele

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Flächeninhalt

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Wählt man   und  , so lauten die partiellen Ableitungen   und  . Die Integrale beschreiben dann den Flächeninhalt von  , der alleine durch den Verlauf der Randkurve eindeutig bestimmt ist und statt durch ein Doppelintegral durch ein Kurvenintegral berechnet werden kann:

 

Wählt man   und  , so erhält man analog

 

Addiert man die beiden Resultate so erhält man die Sektorformel von Leibniz für eine geschlossene Kurve:

 

Flächenschwerpunkt

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Wählt man   und  , so lauten die partiellen Ableitungen   und  . Dann kann man die  -Koordinate des Schwerpunkts der Fläche   durch ein Kurvenintegral berechnen:

 

Entsprechend erhält man mit   und   für die  -Koordinate des Schwerpunktes der Fläche  :

 

Dieses Prinzip wird auch in Planimetern oder Integrimetern verwendet, um Flächeninhalte und Flächenmomente höherer Ordnung zu bestimmen.

Literatur

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  • Otto Forster: Analysis. Band 3: Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im Rn und Anwendungen, 8. verbesserte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden, 2017, ISBN 978-3-658-16745-5.