Die Sektorformel von Leibniz , benannt nach Gottfried Wilhelm Leibniz , berechnet den orientierten Flächeninhalt, den ein Fahrstrahl eines Kurvenabschnitts überstreicht, insbesondere kann man mit ihr Flächeninhalte von Gebieten, die durch eine geschlossene Kurve beschrieben werden, berechnen.
Kurve mit Fahrstrahl Geschlossene Kurve mit Fahrstrahl
Ist
γ
{\displaystyle \gamma }
stückweise glatte Kurve auf
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
{
t
0
,
…
,
t
n
}
{\displaystyle \{t_{0},\ldots ,t_{n}\}}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
γ
{\displaystyle \gamma }
[
t
k
−
1
,
t
k
]
{\displaystyle [t_{k-1},t_{k}]}
k
=
1
,
…
n
{\displaystyle k=1,\ldots n}
F
(
γ
)
=
F
(
γ
1
)
+
…
+
F
(
γ
n
)
{\displaystyle F(\gamma )=F(\gamma _{1})+\ldots +F(\gamma _{n})}
Hierbei bezeichnet
γ
k
{\displaystyle \gamma _{k}}
[
t
k
−
1
,
t
k
]
{\displaystyle [t_{k-1},t_{k}]}
Dreieck als stückweise glatte Kurve Man kann die Sektorformel als eine Verallgemeinerung der Determinantenformel zur Berechnung des Flächeninhaltes von Dreiecken auffassen. Sind
A
=
(
x
1
,
y
1
)
{\displaystyle A=(x_{1},y_{1})}
B
=
(
x
2
,
y
2
)
{\displaystyle B=(x_{2},y_{2})}
C
=
(
x
3
,
y
3
)
{\displaystyle C=(x_{3},y_{3})}
stückweise glatte Kurve
[
0
,
3
]
→
R
2
{\displaystyle [0,3]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}
γ
(
t
)
:=
{
γ
a
(
t
)
=
(
x
1
+
(
x
2
−
x
1
)
t
,
y
1
+
(
y
2
−
y
1
)
t
)
falls
0
≤
t
≤
1
γ
b
(
t
)
=
(
x
2
+
(
x
3
−
x
2
)
(
t
−
1
)
,
y
2
+
(
y
3
−
y
2
)
(
t
−
1
)
)
falls
1
≤
t
≤
2
γ
c
(
t
)
=
(
x
3
+
(
x
1
−
x
3
)
(
t
−
2
)
,
y
3
+
(
y
1
−
y
3
)
(
t
−
2
)
)
falls
2
≤
t
≤
3
{\displaystyle \gamma (t):={\begin{cases}\gamma _{a}(t)=(x_{1}+(x_{2}-x_{1})t,\,y_{1}+(y_{2}-y_{1})t)&{\text{falls }}0\leq t\leq 1\\\gamma _{b}(t)=(x_{2}+(x_{3}-x_{2})(t-1),\,y_{2}+(y_{3}-y_{2})(t-1))&{\text{falls }}1\leq t\leq 2\\\gamma _{c}(t)=(x_{3}+(x_{1}-x_{3})(t-2),\,y_{3}+(y_{1}-y_{3})(t-2))&{\text{falls }}2\leq t\leq 3\end{cases}}}
Dann gilt nun für die Flächenberechnung des Dreiecks:
F
(
△
)
=
1
2
|
1
x
1
y
1
1
x
2
y
2
1
x
3
y
3
|
=
1
2
[
(
x
1
y
2
−
y
1
x
2
)
+
(
x
2
y
3
−
y
2
x
3
)
+
(
x
3
y
1
−
y
3
x
1
)
]
=
1
2
∫
0
1
[
(
x
1
+
(
x
2
−
x
1
)
t
)
(
y
2
−
y
1
)
−
(
y
1
+
(
y
2
−
y
1
)
t
)
(
x
2
−
x
1
)
]
d
t
+
1
2
∫
1
2
[
(
x
2
+
(
x
3
−
x
2
)
(
t
−
1
)
)
(
y
3
−
y
2
)
−
(
y
2
+
(
y
3
−
y
2
)
(
t
−
1
)
)
(
x
3
−
x
2
)
]
d
t
+
1
2
∫
2
3
[
(
x
3
+
(
x
1
−
x
3
)
(
t
−
2
)
)
(
y
1
−
y
3
)
−
(
y
3
+
(
y
1
−
y
3
)
(
t
−
2
)
)
(
x
1
−
x
3
)
]
d
t
=
F
(
γ
a
)
+
F
(
γ
b
)
+
F
(
γ
c
)
=
F
(
γ
)
{\displaystyle {\begin{aligned}F(\triangle )&={\frac {1}{2}}\left|{\begin{matrix}1&x_{1}&y_{1}\\1&x_{2}&y_{2}\\1&x_{3}&y_{3}\end{matrix}}\right|={\frac {1}{2}}[(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})+(x_{2}y_{3}-y_{2}x_{3})+(x_{3}y_{1}-y_{3}x_{1})]\\&=\quad {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}[(x_{1}+(x_{2}-x_{1})t)(y_{2}-y_{1})-(y_{1}+(y_{2}-y_{1})t)(x_{2}-x_{1})]dt\\&\quad +{\frac {1}{2}}\int _{1}^{2}[(x_{2}+(x_{3}-x_{2})(t-1))(y_{3}-y_{2})-(y_{2}+(y_{3}-y_{2})(t-1))(x_{3}-x_{2})]dt\\&\quad +{\frac {1}{2}}\int _{2}^{3}[(x_{3}+(x_{1}-x_{3})(t-2))(y_{1}-y_{3})-(y_{3}+(y_{1}-y_{3})(t-2))(x_{1}-x_{3})]dt\\&=F(\gamma _{a})+F(\gamma _{b})+F(\gamma _{c})\\&=F(\gamma )\end{aligned}}}
Für den Fall einer geschlossenen Kurve ergibt sich die Sektorformel von Leibniz auch als Spezialfall des Integralsatzes von Green . Der Integralsatz liefert für die von einer Kurve
γ
:
[
a
,
b
]
→
R
2
{\displaystyle \gamma :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}
γ
(
a
)
=
γ
(
b
)
{\displaystyle \gamma (a)=\gamma (b)}
B
{\displaystyle B}
f
,
g
:
R
2
→
R
{\displaystyle f,g:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} }
∫
B
[
g
x
(
x
,
y
)
−
f
y
(
x
,
y
)
]
d
x
d
y
=
∫
a
b
[
f
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
)
⋅
x
′
(
t
)
+
g
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
)
⋅
y
′
(
t
)
]
d
t
{\displaystyle \int _{B}{\Bigl [}g_{x}(x,y)-f_{y}(x,y){\Bigr ]}dxdy=\int _{a}^{b}{\Bigl [}f{\bigl (}x(t),y(t){\bigr )}\cdot x^{\prime }(t)+g{\bigl (}x(t),y(t){\bigr )}\cdot y^{\prime }(t){\Bigr ]}dt}
Wählt man für die dortigen Funktionen
f
(
x
,
y
)
=
−
y
{\displaystyle f(x,y)=-y}
g
(
x
,
y
)
=
x
{\displaystyle g(x,y)=x}
f
y
(
x
,
y
)
=
−
1
{\displaystyle f_{y}(x,y)=-1}
g
x
(
x
,
y
)
=
1
{\displaystyle g_{x}(x,y)=1}
∫
B
(
1
−
(
−
1
)
)
d
x
d
y
=
∫
a
b
[
−
y
(
t
)
⋅
x
′
(
t
)
+
x
(
t
)
⋅
y
′
(
t
)
]
d
t
⇔
∫
B
1
d
x
d
y
=
1
2
∫
a
b
[
x
(
t
)
⋅
y
′
(
t
)
−
y
(
t
)
⋅
x
′
(
t
)
]
d
t
{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{B}(1-(-1))dxdy=\int _{a}^{b}{\Bigl [}-y(t)\cdot x^{\prime }(t)+x(t)\cdot y^{\prime }(t){\Bigr ]}dt\\\Leftrightarrow &\int _{B}1dxdy={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}{\Bigl [}x(t)\cdot y^{\prime }(t)-y(t)\cdot x^{\prime }(t){\Bigr ]}dt\end{aligned}}}
Da die Integration über eine Fläche mit 1 den Flächeninhalt selbst liefert, gilt:
F
(
γ
)
=
∫
B
1
d
x
d
y
=
1
2
∫
a
b
[
x
(
t
)
⋅
y
′
(
t
)
−
y
(
t
)
⋅
x
′
(
t
)
]
d
t
{\displaystyle F(\gamma )=\int _{B}1dxdy={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}{\Bigl [}x(t)\cdot y^{\prime }(t)-y(t)\cdot x^{\prime }(t){\Bigr ]}dt}
Eine Herzkurve
γ
:
[
0
,
2
π
]
→
R
2
{\displaystyle \gamma :[0,2\pi ]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}
x
=
a
cos
(
t
)
(
1
+
cos
(
t
)
)
y
=
a
sin
(
t
)
(
1
+
cos
(
t
)
)
{\displaystyle x=a\cos(t)(1+\cos(t))\qquad y=a\sin(t)(1+\cos(t))}
Mit der Sektorformel ergibt sich dann der folgende Flächeninhalt:
F
(
γ
)
=
1
2
∫
0
2
π
[
a
cos
(
t
)
(
1
+
cos
(
t
)
)
a
(
cos
(
t
)
+
2
cos
(
t
)
2
−
1
)
+
a
sin
(
t
)
(
1
+
2
cos
(
t
)
)
a
sin
(
t
)
(
1
+
cos
(
t
)
)
]
d
t
=
1
2
∫
0
2
π
[
(
1
+
cos
(
t
)
)
2
a
2
]
d
t
=
3
2
a
2
π
{\displaystyle {\begin{aligned}F(\gamma )&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }{\Bigl [}a\cos(t)(1+\cos(t))a(\cos(t)+2\cos(t)^{2}-1)+a\sin(t)(1+2\cos(t))a\sin(t)(1+\cos(t)){\Bigr ]}dt\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }{\Bigl [}(1+\cos(t))^{2}a^{2}{\Bigr ]}dt\\&={\frac {3}{2}}a^{2}\pi \end{aligned}}}
Herzkurve Bei der Verwendung der alternativen Formel kann man
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,0)}
F
(
γ
)
=
1
2
∫
0
2
π
[
(
a
cos
(
t
)
(
1
+
cos
(
t
)
)
)
2
+
(
a
sin
(
t
)
(
1
+
cos
(
t
)
)
)
2
]
d
t
=
1
2
∫
0
2
π
[
(
1
+
cos
(
t
)
)
2
a
2
(
cos
(
t
)
2
+
sin
(
t
)
2
)
]
d
t
=
1
2
∫
0
2
π
[
(
1
+
cos
(
t
)
)
2
a
2
]
d
t
=
3
2
a
2
π
{\displaystyle {\begin{aligned}F(\gamma )&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }{\Bigl [}{\bigl (}a\cos(t)(1+\cos(t)){\bigr )}^{2}+{\bigl (}a\sin(t)(1+\cos(t)){\bigr )}^{2}{\Bigr ]}dt\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }{\Bigl [}(1+\cos(t))^{2}a^{2}(\cos(t)^{2}+\sin(t)^{2}){\Bigr ]}dt\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }{\Bigl [}(1+\cos(t))^{2}a^{2}{\Bigr ]}dt\\&={\frac {3}{2}}a^{2}\pi \end{aligned}}}
![{\displaystyle \gamma :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab36f66326a2b397f9661b314c5be85338c3b8de)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle [t_{k-1},t_{k}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/652753d0b32b6fc7d9a74019977c241593ca0aed)
![{\displaystyle [0,3]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26ba09cbe7c8b7226f358450a6f7a8635ec53dc)
![{\displaystyle {\begin{aligned}F(\triangle )&={\frac {1}{2}}\left|{\begin{matrix}1&x_{1}&y_{1}\\1&x_{2}&y_{2}\\1&x_{3}&y_{3}\end{matrix}}\right|={\frac {1}{2}}[(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})+(x_{2}y_{3}-y_{2}x_{3})+(x_{3}y_{1}-y_{3}x_{1})]\\&=\quad {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}[(x_{1}+(x_{2}-x_{1})t)(y_{2}-y_{1})-(y_{1}+(y_{2}-y_{1})t)(x_{2}-x_{1})]dt\\&\quad +{\frac {1}{2}}\int _{1}^{2}[(x_{2}+(x_{3}-x_{2})(t-1))(y_{3}-y_{2})-(y_{2}+(y_{3}-y_{2})(t-1))(x_{3}-x_{2})]dt\\&\quad +{\frac {1}{2}}\int _{2}^{3}[(x_{3}+(x_{1}-x_{3})(t-2))(y_{1}-y_{3})-(y_{3}+(y_{1}-y_{3})(t-2))(x_{1}-x_{3})]dt\\&=F(\gamma _{a})+F(\gamma _{b})+F(\gamma _{c})\\&=F(\gamma )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f65852b83434d392b14140791eb271a87dbcaa7)
![{\displaystyle \int _{B}{\Bigl [}g_{x}(x,y)-f_{y}(x,y){\Bigr ]}dxdy=\int _{a}^{b}{\Bigl [}f{\bigl (}x(t),y(t){\bigr )}\cdot x^{\prime }(t)+g{\bigl (}x(t),y(t){\bigr )}\cdot y^{\prime }(t){\Bigr ]}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/586204711dde3e4a9b7ec2b83a3d03c0ea4ffc5d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{B}(1-(-1))dxdy=\int _{a}^{b}{\Bigl [}-y(t)\cdot x^{\prime }(t)+x(t)\cdot y^{\prime }(t){\Bigr ]}dt\\\Leftrightarrow &\int _{B}1dxdy={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}{\Bigl [}x(t)\cdot y^{\prime }(t)-y(t)\cdot x^{\prime }(t){\Bigr ]}dt\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e4e5e673b0b38701f840adfa052fdaa5be8d388)
![{\displaystyle F(\gamma )=\int _{B}1dxdy={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}{\Bigl [}x(t)\cdot y^{\prime }(t)-y(t)\cdot x^{\prime }(t){\Bigr ]}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dff1f9fcf672ad43383e20bb7e554e73cc1c141)
![{\displaystyle \gamma :[0,2\pi ]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bea32becc154f483bda6d73f47426b17ddd93952)
![{\displaystyle {\begin{aligned}F(\gamma )&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }{\Bigl [}a\cos(t)(1+\cos(t))a(\cos(t)+2\cos(t)^{2}-1)+a\sin(t)(1+2\cos(t))a\sin(t)(1+\cos(t)){\Bigr ]}dt\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }{\Bigl [}(1+\cos(t))^{2}a^{2}{\Bigr ]}dt\\&={\frac {3}{2}}a^{2}\pi \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90b729849007fa85e20ed07ed7c477b1cc52c7a5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}F(\gamma )&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }{\Bigl [}{\bigl (}a\cos(t)(1+\cos(t)){\bigr )}^{2}+{\bigl (}a\sin(t)(1+\cos(t)){\bigr )}^{2}{\Bigr ]}dt\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }{\Bigl [}(1+\cos(t))^{2}a^{2}(\cos(t)^{2}+\sin(t)^{2}){\Bigr ]}dt\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }{\Bigl [}(1+\cos(t))^{2}a^{2}{\Bigr ]}dt\\&={\frac {3}{2}}a^{2}\pi \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6ecb751500d6c1fbac53731c0fa82e60f22ac5e)
