Satz von Hellinger-Toeplitz

mathematischer Satz

Der Satz von Hellinger-Toeplitz ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis. Er ist nach den Mathematikern Ernst Hellinger und Otto Toeplitz benannt. Ursprünglich wurde der Satz im Sinne von Bilinearformen unendlich vieler Veränderlicher formuliert.[1][2][3]

Formulierung

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Es seien   ein Hilbertraum und   ein symmetrischer linearer Operator, das heißt, ein Operator, der für alle   die Gleichung

 

erfüllt. Dann ist   stetig, d. h. beschränkt.[4]

Nach dem Satz vom abgeschlossenen Graphen ist es hinreichend, Folgendes zu zeigen:[5] Ist   eine Nullfolge und   konvergent, dann ist  .
Verwendet man die Stetigkeit des Skalarprodukts auf   und setzt  , dann folgt

 

also  .

Folgerungen

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  • Da der Operator   linear und stetig ist, ist er auch beschränkt.
  • Jeder symmetrische, überall auf   definierte Operator ist selbstadjungiert.
  • Unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren können höchstens auf einer dichten Teilmenge eines Hilbertraums definiert sein.

Verallgemeinerung

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Man kann die Bedingung im Satz von Hellinger-Toeplitz abschwächen:

Es seien   und   Hilberträume und   ein linearer Operator, der ein Adjungiertes besitzt, das heißt: Es gibt einen Operator  , der für alle   und   die Gleichung

 

erfüllt. Dann sind   und   stetig.

Der Beweis geht analog.

Literatur

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Siehe die Einzelnachweise oder Fachbücher der Funktionalanalysis.

Einzelnachweise

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  1. R. E. Edward: The Hellinger-Toeplitz Theorem. In: Journal of the London Mathematical Society. s1-32, Nr. 4, Oktober 1957, S. 499–501, doi:10.1112/jlms/s1-32.4.499 (englisch, wiley.com [abgerufen am 10. November 2022]).
  2. Ernst Hellinger, Otto Toeplitz: Grundlagen für eine Theorie der unendlichen Matrizen. In: Mathematische Annalen. Band 69, Nr. 3, September 1910, ISSN 0025-5831, S. 321 ff., doi:10.1007/BF01456325 (springer.com [abgerufen am 10. November 2022]).
  3. Ernst Hellinger, Otto Toeplitz: Integralgleichungen und Gleichungen mit Unendlichvielen Unbekannten. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 1928, ISBN 978-3-663-15348-1, doi:10.1007/978-3-663-15917-9 (springer.com [abgerufen am 10. November 2022]).
  4. Marshall Harvey Stone: Linear transformations in Hilbert space and their applications to analysis. American Mathematical Society, New York 1932, ISBN 0-8218-1015-4, S. 59 ff. (englisch, archive.org [abgerufen am 10. November 2022]).
  5. Dirk Werner: Funktionalanalysis (= Springer-Lehrbuch). Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2018, ISBN 978-3-662-55406-7, S. 260 ff., doi:10.1007/978-3-662-55407-4 (springer.com [abgerufen am 10. November 2022]).