Satz von Kirchberger

Mathematischer Satz

Der Satz von Kirchberger ist einer der klassischen Lehrsätze des mathematischen Teilgebiets der Konvexgeometrie. Er geht auf die Dissertation des Mathematikers Paul Kirchberger zurück und ist eng verwandt mit und sogar eine unmittelbare Folgerung aus dem bekannten Satz von Helly. Der kirchbergersche Satz gab Anlass zu weiterer Forschungstätigkeit und zur Auffindung einer Anzahl von Lehrsätzen ähnlichen Typs.[1][2][3][4]

Formulierung des Satzes

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Der Satz von Kirchberger lässt sich angeben wie folgt:[1][5][6][7]

Gegeben seien eine natürliche Zahl   und zwei endliche Mengen  und dabei seien für jede aus höchstens   Raumpunkten bestehende Teilmenge   die beiden Untermengen   und   stets durch eine Hyperebene des   strikt trennbar.
Dann gilt:
  und   sind ebenfalls durch eine Hyperebene des   strikt trennbar.

Erweiterung

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Der Satz von Kirchberger lässt sich erweitern, indem man die Voraussetzung der Endlichkeit der Punktmengen   abschwächt. Die Behauptung des Satzes bleibt bestehen auch für den Fall, dass man – bei sonst gleichen Voraussetzungen –   und   lediglich als kompakte Teilmengen des   voraussetzt. Diesen erweiterten Satz bezeichnet man ebenfalls als Satz von Kirchberger.[8]

Zur Historie

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Paul Kirchberger war ein Schüler von David Hilbert und hat bei diesem im Jahre 1902 mit der Dissertation Über Tschebyschefsche Annäherungsmethoden promoviert.[9] Auszüge aus dieser Dissertation hat Kirchberger in Band 57 der Mathematischen Annalen im Jahre 1903 veröffentlicht. Der hier vorgetragene Satz erscheint dort in Kapitel III („Ein Hülfssatz“). Wie einige Autoren – etwa Alexander Barvinok und Steven R. Lay – hervorheben, hat Kirchberger seinen Lehrsatz mehrere Jahre vor der Publikation (und damit ohne Zuhilfenahme) des Satzes von Helly bewiesen.

Literatur

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Einzelnachweise und Anmerkungen

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  1. a b Alexander Barvinok: A Course in Convexity. 2002, S. 21 ff
  2. Steven R. Lay: Convex Sets and Their Applications. 1982, S. 47 ff
  3. Jürg T. Marti: Konvexe Analysis. 1977, S. 203 ff
  4. Jan van Tiel: Convex Analysis. 1984, S. 41 ff
  5. Lay, op. cit., S. 56
  6. Marti, op. cit., S. 205
  7. van Tiel, op. cit., S. 44
  8. Kurt Leichtweiß: Konvexe Mengen. 1980, S. 74 ff
  9. Vgl. Eintrag im Mathematics Genealogy Project!