Satz von Malcev

Als Satz von Malcev wird in der Mathematik ein grundlegender Sachverhalt über Untergruppen der allgemeinen linearen Gruppe bezeichnet.

Satz von Malcev

Jede endlich erzeugte Untergruppe $\Gamma \subset GL(n,\mathbb {C} )$ ist residuell endlich, das heißt zu jedem $a\in \Gamma \setminus \left\{1\right\}$ gibt es einen Homomorphismus $\phi \colon \Gamma \rightarrow F$ auf eine endliche Gruppe $F$ mit $\phi (a)\not =1$. (Äquivalent: zu jedem $a\in \Gamma \setminus \left\{1\right\}$ gibt es eine Untergruppe von endlichem Index $\Gamma ^{\prime }\subset \Gamma$ mit $a\notin \Gamma ^{\prime }$.)

Dieser Satz wird auch als Lemma von Selberg bezeichnet, obwohl er zuerst von Malcev bewiesen wurde.

Eine topologische Interpretation: Sei $M$ eine 3-dimensionale hyperbolische Mannigfaltigkeit (oder allgemeiner ein nach $SL(n,\mathbb {C} )/SU(n)$ oder $SL(n,\mathbb {R} )/SO(n)$ modellierter lokal symmetrischer Raum), dann gibt es zu jeder geschlossenen Kurve $\gamma \subset M$ eine endliche Überlagerung ${\widehat {M}}\to M$, in der die hochgehobene Kurve ${\hat {\gamma }}$ nicht geschlossen ist.

Literatur

• A. Malcev: On isomorphic matrix representations of infinite groups. In: Rec. Math. [Mat. Sbornik] N.S. Band 8, Nr. 50, 1940, S. 405–422. (russisch)

Weblinks

• Nica: Linear groups - Malcev's theorem and Selberg's lemma
• Wilton: Residual finiteness