Satz von Milnor-Moore

Der Satz von Milnor-Moore, benannt nach John Milnor und John Moore, ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Theorie der Hopf-Algebren. Er stellt unter gewissen Voraussetzungen einen Zusammenhang zwischen einer solchen Hopf-Algebra und der in ihr enthaltenen Lie-Algebra der primitiven Elemente her.

Formulierung

Es sei $A=\bigoplus _{n\in N}A_{n}$ eine graduierte ko-kommutative Hopf-Algebra über einem Körper $k$ der Charakteristik $\operatorname {char} (k)=0$ und es gelte $A_{0}\cong k$ und $\dim(A_{n})<\infty$ für alle $n$.

Es sei $P(A)$ die graduierte Lie-Algebra der primitiven Elemente in $A$ und $U(P(A))$ die universelle einhüllende Algebra von $P(A)$.

Dann ist der natürliche Hopf-Algebren-Homomorphismus

$U(P(A))\to A$

ein Isomorphismus.

H-Räume

Häufig wird auch die folgende Anwendung als Satz von Milnor-Moore bezeichnet.

Es sei $X$ ein wegzusammenhängender homotopie-assoziativer H-Raum. Dann ist der Hurewicz-Homomorphismus

$\pi _{*}(X)\otimes k\to H_{*}(X;k)$

injektiv und sein Bild wird von den primitiven Elementen in $H_{*}(X;k)$ erzeugt.

K-Theorie

Ein Spezialfall ergibt sich durch Anwendung auf die algebraische K-Theorie eines Ringes $R$: der Hurewicz-Homomorphismus

$K_{*}(R)\otimes k\to H_{*}(BGL(R);k)$

in die Gruppenhomologie der allgemeinen linearen Gruppe ist injektiv und sein Bild wird von den primitiven Elementen in $H_{*}(BGL(R);k)$ erzeugt.

Literatur

• John Milnor, John Moore: On the structure of Hopf algebras. Ann. of Math. (2) 81 (1965) S. 211–264, online.