Satz von Milnor-Thom

Im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Geometrie gibt der Satz von Milnor-Thom eine Abschätzung für die Anzahl der Zusammenhangskomponenten der Nullstellenmenge eines Polynoms und allgemeiner für die Summe der Betti-Zahlen der Nullstellenmenge.

Nullstellenmengen von Polynomen

Es sei $P\in \mathbb {R} \left[x_{1},\ldots ,x_{n}\right]$ ein Polynom in $n$ Variablen vom Grad $k$. Der Satz von Milnor-Thom gibt Abschätzungen für die Topologie der Nullstellenmenge

$A=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:P(x)=0\right\}\subset \mathbb {R} ^{n}$,

genauer gesagt für die Summe der Betti-Zahlen $b_{i}(A)$.

Weil die Anzahl der Zusammenhangskomponenten von $A$ gleich der 0-ten Betti-Zahl $b_{0}(A)$ ist und alle Betti-Zahlen nichtnegativ sind, gilt offensichtlich

$\sharp \left\{{\text{Zusammenhangskomponenten von }}A\right\}=b_{0}(A)\leq b_{0}(A)+b_{1}(A)+\ldots +b_{n}(A)$

und man erhält aus dem Satz von Milnor-Thom insbesondere eine Abschätzung für die Anzahl der Zusammenhangskomponenten.

Die Ungleichungen

John Milnor betrachtete in seiner 1964 geschriebenen Arbeit etwas allgemeiner algebraische Varietäten $V\subset \mathbb {R} ^{n}$ definiert durch $p$ Polynome $f_{i}=0,i=1,\ldots ,p,$, jedes vom Grad $\leq k$ und bewies, dass die Summe ihrer Betti-Zahlen die Ungleichung

$b_{0}(V)+b_{1}(V)+\ldots +b_{n}(V)\leq k(2k-1)^{n-1}$

erfüllt. Für den Fall, dass $V$ durch polynomielle Ungleichungen $f_{i}\geq 0,i=1,\ldots ,p$ definiert wird, bewies er

$b_{0}(V)+b_{1}(V)+\ldots +b_{n}(V)\leq {\frac {1}{2}}(2+d)(1+d)^{n-1}$

mit $d=deg(f_{1})+\ldots +deg(f_{p})$. Weiterhin bewies er auch Ungleichungen für komplexe algebraische Varietäten $V\subset \mathbb {C} ^{n}$ und für projektive Varietäten.

René Thom hatte in seiner 1965 veröffentlichten, aber bereits früher geschriebenen Arbeit für die Nullstellenmenge $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ eines Polynoms vom Grad $k$ die Abschätzung $b_{0}(A)+b_{1}(A)+\ldots +b_{n}(A)\leq (2k)^{n}$ bewiesen. Beide Beweise, von Milnor und von Thom, benutzten Morse-Theorie.

Nolan Wallach gab 1996 eine verbesserte Abschätzung für den Fall nichtsingulärer Hyperflächen: Wenn $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ein Polynom vom Grad $k$ und $0$ ein regulärer Wert von $f$ ist, dann gilt für die Summe der Betti-Zahlen von $A=f^{-1}(0)$ die Ungleichung

$b_{0}(A)+b_{1}(A)+\ldots +b_{n}(A)\leq k^{n}$.

Literatur

• Thom: Sur l'homologie des variétés algébriques réelles. Differential and Combinatorial Topology (A Symposium in Honor of Marston Morse) pp. 255–265 Princeton Univ. Press, Princeton, N.J. (1965) Online
• Milnor: On the Betti numbers of real varieties. Proc. Amer. Math. Soc. 15, 275–280 (1964), JSTOR:2034050.
• Wallach: On a theorem of Milnor and Thom in: Topics in Geometry (Simon Gindikin, editor), 331–348, Progr. Nonlinear Differential Equations Appl., 20, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1996. Online MR1390322
• Jacek Bochnak, Michel Coste, Marie-Françoise Roy: Real Algebraic Geometry, Springer 1998, Kapitel 11.5 (Der Satz ist auf S. 284)