Satz von Mittag-Leffler

mathematischer Satz

Der Satz von Mittag-Leffler ist ein nach dem Mathematiker Magnus Gösta Mittag-Leffler benannter Satz der Funktionentheorie. In seiner anwendungsorientierten Formulierung garantiert er die Existenz bestimmter meromorpher Funktionen.

Sei   eine diskrete Folge paarweise verschiedener komplexer Zahlen ohne Häufungspunkt in  . Dann existiert eine auf   holomorphe Funktion, die Pole genau an den Stellen   hat und dort jeweils einen vorgegebenen Hauptteil aufweist. Das heißt, zu jedem dieser   kann man ein Polynom   ohne konstanten Term wählen, nach dem Satz von Mittag-Leffler existiert eine meromorphe Funktion, deren Laurententwicklung auf einer gelochten Kreisscheibe um   gerade den Hauptteil   besitzt. Insbesondere die Grade der Polynome und damit die Ordnungen der Polstellen können frei gewählt werden.

An Stelle von Polynomen können auch allgemeiner ganze Funktionen (also Potenzreihen, die auf ganz   konvergieren) ohne konstanten Term gewählt werden. Die resultierende Funktion hat aber im Fall nicht abbrechender Potenzreihen wesentliche Singularitäten und ist daher nur für Polynome meromorph.

Methode der konvergenzerzeugenden Summanden

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Der Fall endlich vieler Polstellen ist trivial, denn dann kann man einfach die endliche Summe der   als Lösung nehmen.

Wir setzen daher für das Folgende voraus, dass die Anzahl der Polstellen unendlich ist, wählen   (falls in 0 keine Polstelle vorliegt, setzen wir  ) und ordnen die Polstellen so, dass   für alle   gilt. Da die Polstellenmenge diskret ist, folgt daraus  .

Der oben betrachtete Fall endlich vieler Polstellen legt den Ansatz nahe, auch hier die Hauptteile einfach zu addieren, das heißt   zu bilden. Es stellt sich dann die Frage nach der Konvergenz der Reihe bezüglich der kompakten Konvergenz. Das ist zunächst einmal ein geeigneter Konvergenzbegriff, denn zu jeder kompakten Menge in   gibt es wegen   einen Index  , sodass alle   mit   außerhalb dieser kompakten Menge liegen und daher die gleichmäßige Konvergenz der Restsumme   auf dieser kompakten Menge betrachtet werden kann. Es stellt sich nun heraus, dass obiger Ansatz im Allgemeinen nicht konvergiert.

Daher versucht man als Nächstes, die Summanden geeignet anzupassen. Für   sind die Funktionen   holomorph um 0 und haben daher eine Taylor-Reihe   in 0. Sei   das Taylor-Polynom vom Grad  , das heißt der Anfang der Taylor-Reihe bis zur  -ten Potenz. Die Idee besteht nun darin, die Summanden   durch   zu ersetzen, wobei die   so gewählt werden, dass dadurch Konvergenz erzeugt wird. Da die   als Polynome holomorph sind, ändert sich nichts an den Hauptteilen. Dies führt tatsächlich zum Erfolg und heißt in naheliegender Weise Methode der konvergenzerzeugenden Summanden. Mit den hier eingeführten Bezeichnungen gilt:[1]

  • Es gibt Zahlen  , sodass
 
kompakt konvergiert. Die Funktion   ist dann meromorph mit Polstellen genau in den vorgegebenen Punkten   und hat dort die Hauptteile  .

Es ist auch   erlaubt, nämlich dann, wenn eine Anpassung des Summanden durch ein Taylor-Polynom nicht nötig ist.

Beispiele

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  • Im folgenden einfachen Beispiel erhält man die sogenannte Partialbruchzerlegung einer Funktion. Betrachte  .   besitzt genau in den ganzen Zahlen Pole zweiter Ordnung. Der Ansatz, als Polynome einfach   und somit für die Hauptteile in   gerade den Term   zu wählen, führt zu  . Es lässt sich zeigen, dass diese Summe schon konvergiert. Insbesondere werden keine konvergenzerzeugenden Summanden benötigt. Es stellt sich heraus, dass die Summe tatsächlich gegen   konvergiert, das heißt, es gilt:[2]
 
  • Gibt man für   nur einfache Polynome mit Residuum 1 vor, so hat man die Hauptteile  , deren Summe nicht konvergiert. Für   ist   das 0-te Taylor-Polynom zu   und man kann zeigen, dass die Reihe   tatsächlich konvergiert. Man kann dann sogar zeigen:[3]
 

Verallgemeinerung auf riemannsche Flächen

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Zur Verallgemeinerung auf riemannsche Flächen müssen wir eine verallgemeinerungsfähige Formulierung finden. Zu diesem Zweck werfen wir einen neuen Blick auf die Situation des Satzes.

Da die Folge   in obigem Satz diskret ist, kann man um jeden Punkt   eine offene Umgebung   finden, die keine weiteren dieser Punkte enthält. Durch eventuelle Vergrößerung der   oder durch Hinzunahme weiterer Punkte (mit geeigneten offenen Umgebungen), für die man die Hauptteil-Polynome 0 wählt, kann man annehmen, dass   eine offene Überdeckung von   ist und jedes   aus der vorgegebenen Folge nur den Punkt   enthält. Setzt man  , so sind die Hauptteile   meromorph und die Differenzen   sind holomorph. Obiger Satz von Mittag-Leffler besagt nun, dass es eine (globale) meromorphe Funktion   gibt, sodass alle Differenzen   auf   holomorph sind, genauer: holomorph ergänzt werden können (siehe riemannscher Hebbarkeitssatz).   bezeichnet dabei die Einschränkung der Funktion auf die angegebene Menge. Das motiviert folgende Begriffsbildung.

Für eine riemannsche Fläche   seien   und   die Garben der holomorphen bzw. meromorphen Funktionen. Eine Mittag-Leffler-Verteilung ist eine Familie   meromorpher Funktionen auf offenen Mengen  , sodass   eine offene Überdeckung von   ist und   für alle   gilt. Eine Lösung einer solchen Mittag-Leffler-Verteilung ist eine global definierte meromorphe Funktion  , sodass alle   holomorph auf ganz   fortgesetzt werden können. Mit diesen Begriffsbildungen gilt:

  • Auf einer nicht-kompakten riemannschen Fläche ist jede Mittag-Leffler-Verteilung lösbar.[4]

Auf kompakten riemannschen Flächen sind die Verhältnisse komplizierter, wie nun ausgeführt wird. In Fortführung obiger Begriffsbildungen ist klar, dass für eine Mittag-Leffler-Verteilung   die Familie   einen Kozykel aus   und somit ein mit   bezeichnetes Element in der Garbenkohomologiegruppe   definiert. Das Kriterium

  • Eine Mittag-Leffler-Verteilung   einer riemannschen Fläche   ist genau dann lösbar, wenn   das Nullelement ist.[5]

ist vor dem Hintergrund dieser Begriffsbildungen nicht sehr tiefsinnig, zeigt aber den Unterschied zwischen kompakten und nicht-kompakten riemannschen Flächen. Für nicht-kompakte riemannsche Flächen gilt stets  ,[6] weshalb obiger Satz für nicht-kompakte riemannsche Flächen gilt. Für kompakte riemannsche Flächen mit Geschlecht   ist das nicht der Fall. In der Tat ist   eine der möglichen äquivalenten Definitionen des Geschlechts für riemannsche Flächen, und daher kann man für kompakte riemannsche Flächen vom Geschlecht   stets Mittag-Leffler-Verteilungen konstruieren, die nicht lösbar sind.

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. Vieweg, 1980, ISBN 3-528-07247-4, Kap. VII, Satz 1.3 (Satz von Mittag-Leffler).
  2. Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. Vieweg, 1980, ISBN 3-528-07247-4, Kap. VII, Satz 3.1.
  3. Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. Vieweg, 1980, ISBN 3-528-07247-4, Kap. VII, Satz 3.2.
  4. Otto Forster: Riemannsche Flächen. Springer, 1977, ISBN 3-540-08034-1, 26.3.
  5. Otto Forster: Riemannsche Flächen. Springer, 1977, ISBN 3-540-08034-1, 18.01.
  6. Otto Forster: Riemannsche Flächen. Springer, 1977, ISBN 3-540-08034-1, 26.01.