Der Satz von Olivier ist ein mathematischer Lehrsatz der Analysis, welcher auf eine Arbeit des Mathematikers Louis Olivier im zweiten Band des crelleschen Journals aus dem Jahre 1827 zurückgeht. Der Satz gibt eine notwendige Bedingung für die Konvergenz von Reihen, deren Glieder eine monoton fallende Folge positiver reeller Zahlen bilden, und liefert dabei eine Verschärfung des Nullfolgenkriteriums. Als direkte Anwendung des Satzes ergibt sich unter anderem die Divergenz der harmonischen Reihe.[1][2]

Formulierung

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Der Satz von Olivier lässt sich wie folgt formulieren:

Sei   eine monoton fallende Folge nichtnegativer reeller Zahlen und die zugehörige Reihe   sei konvergent, also
 .
Dann gilt
 ,
das heißt, die Zahlenfolge   ist eine Nullfolge.[3]

Beweis nach Konrad Knopp

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Der Ansatz zum Beweis des Satzes von Olivier ergibt sich aus dem Cauchy-Kriterium für Reihen.

Ist nämlich ein beliebiges   vorgegeben, so setzt man zunächst   und findet dazu eine untere Schranke   , so dass für beliebige   mit   stets die Ungleichung

 

gilt.

Damit ist wegen der vorausgesetzten Monotonieeigenschaft der Zahlenfolge zunächst

 

und folglich

 

gegeben.

Das aber bedeutet insbesondere, dass man für   mit   stets

 

und damit

 

hat.

Als untere Schranke zu   wählt man nun    .

Damit ergibt sich nämlich für alle   mit   wegen   und   die Ungleichung

   .

Folglich ist   eine Nullfolge.

Anmerkung

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  • Für
 
hat man
   ,
was mit dem Satz von Olivier die Divergenz der harmonischen Reihe impliziert.
  • Anhand der abelschen Reihe, welche
 
als allgemeines Glied hat[4], sieht man, dass der Satz von Olivier lediglich eine notwendige, jedoch keine hinreichende Bedingung formuliert. Denn der abelschen Reihe liegt zwar eine monoton fallende Gliederfolge zugrunde und dabei ist
   ,
aber dennoch folgt mit dem Verdichtungskriterium von Cauchy
 [5][6]

Literatur

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Einzelnachweise und Anmerkungen

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  1. Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Band 2). 5., berichtigte Auflage. Springer Verlag, Berlin / Göttingen / Heidelberg / New York 1964, ISBN 3-540-03138-3, S. 125–126 (MR0183997).
  2. Herbert Meschkowski: Unendliche Reihen. 2., verbesserte und erweiterte Auflage. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim u. a. 1982, ISBN 3-411-01613-2, S. 28–29 (MR0671586).
  3. A. Ostrowski: Complex Function Theory. In: Collected Mathematical Papers, Vol. 5 XIII, Birkhäuser-Verlag, 1984, ISBN 3-7643-1510-5, S. 163; dort wird diese Aussage als Satz von Olivier bezeichnet
  4. bei formaler Setzung von  
  5. Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Band 2). 5., berichtigte Auflage. Springer Verlag, Berlin / Göttingen / Heidelberg / New York 1964, ISBN 3-540-03138-3, S. 121, 124 (MR0183997).
  6. Herbert Meschkowski: Unendliche Reihen. 2., verbesserte und erweiterte Auflage. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim u. a. 1982, ISBN 3-411-01613-2, S. 26–27 (MR0671586).