Satz von Paley-Wiener

mathematischer Satz

Der Satz von Paley-Wiener, benannt nach Raymond Paley und Norbert Wiener, ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Er charakterisiert die Fourier-Laplace-Transformationen glatter Funktionen mit kompaktem Träger bzw. temperierter Distributionen mit kompaktem Träger mittels Wachstumsbedingungen.

Einführung

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Ist   eine integrierbare Funktion, so kann man bekanntlich die Fourier-Transformierte

 

bilden, wobei   und   das Skalarprodukt der Vektoren   ist. Diese Formel ist auch für komplexe Vektoren   sinnvoll. Man nennt

 

die Fourier-Laplace-Transformierte von  . Durch Dualisierung kann man diese Begriffsbildung auf Distributionen mit kompaktem Träger ausdehnen. Ist   eine temperierte Distribution, so ist durch

 

die Fourier-Transformierte definiert. Dazu ist nur zu beachten, dass   eine glatte Funktion ist und dass die Distributionen mit kompaktem Träger genau die stetigen, linearen Funktionale auf dem Raum der glatten Funktionen sind. Obige Formel lässt sich offensichtlich auch für   schreiben und man nennt

 

wieder die Fourier-Laplace-Transformierte von  .

Die Fourier-Laplace-Transformierten sind holomorphe Funktionen   und es stellt sich die Frage, welche holomorphen Funktionen hier als Fourier-Laplace-Transformationen auftreten können. Genau diese Frage beantwortet der Satz von Paley-Wiener.[1][2]

Satz von Paley-Wiener für Funktionen

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Eine holomorphe Funktion   ist genau dann die Fourier-Laplace-Transformierte einer glatten Funktion mit Träger in der Kugel  , wenn es zu jedem   eine reelle Konstante   gibt, so dass

 

für alle  .

Dabei ist   der reelle Vektor der Imaginärteile der Komponenten des Vektors  .

Satz von Paley-Wiener für Distributionen

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Eine holomorphe Funktion   ist genau dann die Fourier-Laplace-Transformierte einer Distribution mit Träger in der Kugel  , wenn es Konstanten   und   gibt, so dass

 

für alle  .

Bemerkung

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Die Bedingung im Satz für Funktionen ist restriktiver als die Bedingung im Satz für Distributionen. Das ist nicht verwunderlich, denn jede glatte Funktionen   mit kompaktem Träger definiert mittels   eine Distribution   mit kompakten Träger, der im Träger von   liegt, und für die Fourier-Laplace-Transformationen gilt

 ,

das heißt die Fourier-Laplace-Transformierte einer glatten Funktion mit kompaktem Träger ist auch die Fourier-Laplace-Transformierte der durch sie definierten Distribution mit kompaktem Träger.

Beispiele

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Die Sätze von Paley-Wiener sollen anhand von zwei Beispielen erläutert werden.

Sei zunächst  . Die Fourier-Laplace-Transformierte ist

 .

Ist   die Zerlegung in Real- und Imaginärteil, so ist  , das heißt   wächst für festen Realteil wie  , jedenfalls schneller als   für jede Konstante  . Dies spiegelt gemäß obiger Sätze die Tatsache wider, dass   keinen kompakten Träger hat.

Sei nun   die Distribution  . Eine kurze Rechnung zeigt

 ,

wobei für   stetig zu   fortgesetzt wird. Ist   die Zerlegung in Real- und Imaginärteil, so gilt  , das heißt   lässt sich gegen   abschätzen, denn die hyperbolischen Funktionen erlauben eine solche Abschätzung. Daraus folgt, dass   die Wachstumsbedingung aus dem Satz von Paley-Wiener für Distributionen mit   erfüllt. In der Tat ist   eine Distribution mit dem kompakten Träger  . Die holomorphe Funktion   erfüllt aber nicht die Bedingung aus dem Satz von Paley-Wiener für Funktionen, denn gäbe es für   eine Konstante   wie im Satz, so folgte

 .

Speziell für reelle   ist der Exponentialterm gleich 1 und es folgte  , und damit würde die Sinusfunktion für große reelle Argumente gegen 0 gehen, was aber bekanntlich nicht der Fall ist. Zwar kommt die Distribution von der charakteristischen Funktion des Intervalls [-1,1] her, und diese hat auch einen kompakten Träger, aber sie ist nicht glatt.

Einzelnachweise

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  1. S. R. Simanca: Pseudo-differential Operators, John Wiley & Sons Inc. 1991, ISBN 0-470-21688-3, Theorem 1.2.10
  2. K. Yosida: Functional Analysis, Springer-Verlag 1974, ISBN 0-387-06812-0, Kapitel VI.4, The Paley-Wiener Theorems. The One-sided Laplace Transform