Universelle einhüllende Algebra

Die universelle einhüllende Algebra (auch universelle Einhüllende) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Theorie der Lie-Algebren. Sie ist eine assoziative Algebra, die zeigt, dass man die Lie-Klammer stets als Kommutator auffassen kann, auch bei Lie-Algebren, die nicht von einer assoziativen Algebra herkommen.

Definition

Es sei ${\mathfrak {g}}$ eine Lie-Algebra (über einem Körper). Eine universelle einhüllende Algebra $\mathrm {U} ({\mathfrak {g}})$ von ${\mathfrak {g}}$ besteht aus einer unitären assoziativen Algebra und einem Liealgebrenhomomorphismus ${\mathfrak {g}}\to \mathrm {U} ({\mathfrak {g}})$ (dabei sei die Liealgebrastruktur auf assoziativen Algebren durch den Kommutator gegeben), so dass gilt:

Ist $A$ eine unitäre assoziative Algebra, so stehen die Liealgebrahomomorphismen ${\mathfrak {g}}\to A$ in Bijektion mit den unitären Algebrenhomomorphismen $\mathrm {U} ({\mathfrak {g}})\to A$. Diese Bijektion wird durch den Homomorphismus ${\mathfrak {g}}\to \mathrm {U} ({\mathfrak {g}})$ vermittelt.

Eigenschaften

• Die wichtigste Aussage über universelle einhüllende Algebren ist der Satz von Poincaré-Birkhoff-Witt (nach Henri Poincaré, Garrett Birkhoff und Ernst Witt; auch als PBW abgekürzt): Ist $X_{1},\ldots ,X_{n}$ eine Basis von ${\mathfrak {g}}$ und $i\colon {\mathfrak {g}}\to \mathrm {U} ({\mathfrak {g}})$ die kanonische Abbildung, so bilden die Monome

$i(X_{i_{1}})i(X_{i_{2}})\cdots i(X_{i_{k}})$ mit $i_{1}\leq i_{2}\leq \ldots \leq i_{k}$

eine Basis von $\mathrm {U} ({\mathfrak {g}})$.

• Insbesondere ist $i$ injektiv, und jede Lie-Algebra ist Unteralgebra einer assoziativen Algebra.
• Moduln unter einer Lie-Algebra sind dasselbe wie Moduln unter ihrer universellen einhüllenden Algebra.

Konstruktion

Man kann die universelle Einhüllende explizit angeben als Quotienten der Tensoralgebra $\mathrm {T} {\mathfrak {g}}$ nach dem zweiseitigen Ideal, das von Elementen der Form

$X\otimes Y-Y\otimes X-[X,Y]$

für $X,Y\in {\mathfrak {g}}$ erzeugt wird. Man beachte: Im Unterschied zu den entsprechenden Konstruktionen der äußeren Algebra oder symmetrischen Algebra ist dieses Ideal nicht homogen, $\mathrm {U} ({\mathfrak {g}})$ trägt also keine induzierte Graduierung.

Beispiele

• Ist ${\mathfrak {g}}$ abelsch, so ist die universelle einhüllende Algebra isomorph zur symmetrischen Algebra über ${\mathfrak {g}}$.