Es sei eine Teilmenge der ganzen Zahlen mit positiver oberer Dichte:
- ,
dann gibt es in unendlich viele arithmetische Folgen der Länge , also der Form
-
mit .
Es sei eine ungerade Zahl und . Dann gibt es zu jedem ein , so dass für alle Mengen mit die Ungleichung
-
gilt.[1]
Dieser Satz gilt allgemeiner für 2-teilbare Gruppen[2]: Es sei eine kompakte 2-teilbare abelsche Gruppe mit Haarschem Wahrscheinlichkeitsmaß , dann gibt es zu jedem ein , so dass für jede messbare Menge mit die Ungleichung
-
gilt.
Eine stärkere Form ist der Satz von Roth-Khintschin.
- ↑ Varnavides: On certain sets of positive density. J. London Math. Soc. 34 1959 358–360.
- ↑ Meshulam: On subsets of finite abelian groups with no 3-term arithmetic progressions. J. Combin. Theory Ser. A 71 (1995), no. 1, 168–172.