Satz von Synge

mathematischer Satz

Der Satz von Synge ist ein nach John Lighton Synge benannter Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Differentialgeometrie. Er besagt, dass jede gerade-dimensionale, orientierbare Mannigfaltigkeit positiver Schnittkrümmung einfach zusammenhängend sein muss.

Satz von Synge

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 .
  • Für jede nicht-orientierbare Mannigfaltigkeit   gerader Dimension, die eine Riemannsche Metrik positiver Schnittkrümmung   für eine Konstante   trägt, ist
 .

Die Bedingung, dass   für eine Konstante   gilt, ist insbesondere immer dann erfüllt, wenn   kompakt und die Schnittkrümmung   ist.

Lemma von Synge

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Der Beweis des Satzes von Synge folgt aus dem Lemma von Synge. Dieses besagt folgendes:

Sei   eine orientierbare Riemannsche Mannigfaltigkeit gerader Dimension mit positiver Schnittkrümmung  . Sei   eine glatte geschlossene Geodätische der Länge  . Dann gibt es eine Variation   von  , so dass alle Nachbarkurven   glatt, geschlossen und kürzer als   sind.

Gruppentheoretische Formulierung

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Der Satz von Synge ist äquivalent zum Satz von Synge-Weinstein.

Ungerade Dimensionen

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Für Mannigfaltigkeiten ungerader Dimensionen gilt der Satz von Synge nicht. Zwar hat nach dem Satz von Bonnet-Myers jede positiv gekrümmte Mannigfaltigkeit eine endliche Fundamentalgruppe, jedoch gibt es ungerade-dimensionale, positiv gekrümmte Mannigfaltigkeiten mit beliebiger zyklischer Fundamentalgruppe (Linsenräume) oder beispielsweise die Poincaré-Homologiesphäre mit einer komplizierteren Fundamentalgruppe der Ordnung 120.

Literatur

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  • do Carmo, Manfredo Perdigão: Riemannian geometry. Translated from the second Portuguese edition by Francis Flaherty. Mathematics: Theory & Applications. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1992, ISBN 0-8176-3490-8.
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