Der Satz von Synge-Weinstein ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Differentialgeometrie. Er ist das gruppentheoretisch formulierte Äquivalent zum Satz von Synge. Der Satz ist nach John Lighton Synge und Alan Weinstein benannt.

Satz von Synge-Weinstein

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Es sei   eine orientierte Mannigfaltigkeit, die eine riemannsche Metrik positiver Schnittkrümmung   für eine Konstante   trägt. (Diese Bedingung ist insbesondere immer erfüllt, wenn   kompakt und die Schnittkrümmung   ist.) Dann gilt:

  • wenn die Dimension von   eine gerade Zahl   ist, dann hat jede orientierungserhaltende Isometrie einen Fixpunkt,
  • wenn die Dimension von   eine ungerade Zahl   ist, dann hat jede orientierungsumkehrende Isometrie einen Fixpunkt.

Aus dem ersten Fall folgt insbesondere der Satz von Synge, also dass eine orientierbare, gerade-dimensionale, kompakte riemannsche Mannigfaltigkeit positiver Schnittkrümmung einfach zusammenhängend sein muss. Anderenfalls hätte nämlich die universelle Überlagerung   eine fixpunktfreie Wirkung der nicht-trivialen Fundamentalgruppe   durch Isometrien der zurückgezogenen (positiv gekrümmten) riemannschen Metrik auf  .

In ungeraden Dimensionen gibt es orientierungserhaltende, fixpunktfreie Wirkungen endlicher Gruppen auf positiv gekrümmten Mannigfaltigkeiten, zum Beispiel wirken alle zyklischen Gruppen auf allen ungerade-dimensionalen Sphären, als Quotienten erhält man die Linsenräume.

Literatur

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