Satz von Wallace

Der Satz von Wallace ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie, welcher auf den amerikanischen Mathematiker Alexander Doniphan Wallace (1905–1985) zurückgeht. Er behandelt eine spezielle Trennungseigenschaft kompakter Produktunterräume in Produkttopologien: Ein Produkt kompakter Mengen in einer offenen Menge liegt in einem darin enthaltenen Produkt offener Mengen.

Formulierung des Satzes

Gegeben seien zwei topologische Räume $X$ und $Y$ und darin eingelagert zwei kompakte Unterräume $A\subseteq X$ und $B\subseteq Y$. Sei ferner $W$ eine offene Obermenge von $A\times B$ in $X\times Y$.

Dann existieren offene Teilmengen $U\subseteq X$ und $V\subseteq Y$ mit $A\times B\subseteq U\times V\subseteq W$.

Korollar

Jeder kompakte Hausdorff-Raum ist normal.

Sind nämlich  $A$  und   $B$  abgeschlossene, disjunkte Teilmengen des kompakten Hausdorffraums $X$, so ist   $A\times B\subset W:=\{(x,y)\in X\times X;x\not =y\}\subset X\times X$ . Da   $X$   ein Hausdorffraum ist, ist die Diagonale abgeschlossen, also ist   $W$   offen. Wendet man nun obigen Satz von Wallace an, so erhält man zwei offene Mengen   $U\supseteq A$  und   $V\supseteq B$   mit   $U\times V\subseteq W$ , d. h.   $U\cap V=\emptyset$ . Damit ist   $X$   normal.

Literatur

• John L. Kelley: General topology (= Graduate Texts in Mathematics. Band 27). Reprint of the 1955 edition published by Van Nostrand. Springer, New York NY u. a. 1975, ISBN 3-540-90125-6. 
• Anthony Connors Shershin: Introduction to topological semigroups. University Presses of Florida, Miami FL 1979, ISBN 0-8130-0664-3. 
• Kapil D. Joshi: Introduction to General Topology. Wiley Eastern, New Delhi u. a. 1983, ISBN 0-85226-444-5.