Satz von Wille

Der Satz von Wille ist ein Lehrsatz, den der deutsche Mathematiker Friedrich Wille (1935–1992) zum mathematischen Teilgebiet der Analysis beigetragen hat. Der Satz geht auf eine Arbeit Willes aus dem Jahr 1972 zurück und behandelt ein Überdeckungsproblem für beschränkte Teilmengen im höherdimensionalen euklidischen Raum. Er ist eng verbunden mit mehreren bedeutenden Sätzen der Mathematik wie etwa mit dem Pflastersatz von Lebesgue oder dem Borsuk'schen Antipodensatz. Mit seiner Hilfe lassen sich Lösbarkeitskriterien für Nichtlineare Gleichungssysteme mit gewissen Konvexitätseigenschaften ableiten.

Formulierung des Satzes

Der Monographie von Jürg T. Marti folgend, lässt sich der Satz wie folgt angeben:

Gegeben seien im $\mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} ,n\geq 2)$ endlich viele nichtleere Teilmengen $T,T_{1},\ldots ,T_{m}\subset \mathbb {R} ^{n}\;(m\in \mathbb {N} )$ . Die Teilmenge $T$ sei beschränkt und die anderen Teilmengen $T_{j}$ seien abgeschlossen und konvex.

Die Teilmengen $T_{j}$ sollen die $T$-Randpunktmenge $\partial {T}={\overline {T}}\setminus T^{\circ }$ ganz überdecken, zugleich sollen aber noch Punkte in der Differenzmenge $D=T\setminus \left(\bigcup _{j=1,\ldots ,m}{T_{j}}\right)$ liegen.

Dann gilt:

(i) $m\geq n+1$.

(ii) In der Schnittmenge der $m$ Teilmengen $T_{j}$ liegt kein einziger Punkt: $\bigcap _{j=1,\ldots ,m}{T_{j}}=\emptyset$.

(iii) Es gibt unter den $m$ Teilmengen $T_{j}$ eine $n$-gliedrige Mengenfolge $T_{j_{1}},\ldots ,T_{j_{n}}$, deren Schnittmenge $\bigcap _{k=1,\ldots ,n}{T_{j_{k}}}$ nichtleer ist und die dabei einen Punkt $p$ enthält, der zugleich ein Berührpunkt der Differenzmenge $D$ ist.

Korollar

Der Satz von Wille zieht – wegen (i) !– ein Korollar nach sich, das sich folgendermaßen angeben lässt:

Wenn im $n$-dimensionalen euklidischen Raum $n$ abgeschlossene und konvexe Teilmengen die Randpunktmenge $\partial {T}$ einer gegebenen beschränkten Teilmenge $T$ überdecken, so überdecken diese $n$ Teilmengen schon die gesamte Teilmenge $T$.

Verwandtes Resultat: Ein Satz von Berge

Im Jahre 1959 lieferte der französische Mathematiker Claude Berge (1926–2002) einen verwandten Satz, der sich der Frage widmet, unter welchen Bedingungen endlich viele abgeschlossene konvexe Teilmengen im euklidischen Raum (und allgemeiner in einem gegebenen topologischen Vektorraum) eine andere gegebene konvexe Teilmenge nicht überdecken. Diesen Satz kann man in Anschluss an die Monographie von Josef Stoer und Christoph Witzgall folgendermaßen darstellen:

Gegeben sei ein topologischer Vektorraum $X$ oder es sei sogar $X=\mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )$.

Weiterhin gegeben seien endlich viele konvexe Teilmengen $T,T_{1},\ldots ,T_{m}\subseteq X\;(m\in \mathbb {N} )$, wobei die $T_{j}$ allesamt abgeschlossen in $X$ sein sollen.

Zudem sollen die folgenden Bedingungen erfüllt sein:

(a) Für $k=1,\ldots ,m$ sei stets

$T\cap \bigcap _{j=1,\ldots ,m\; \atop \;\ j\neq k}{T_{j}}\neq \emptyset$.

(b) Insgesamt sei

$T\cap \bigcap _{j=1,\ldots ,m}{T_{j}}=\emptyset$.

Dann gilt:

$T\nsubseteq \bigcup _{j=1,\ldots ,m}{T_{j}}$.

Literatur

• Claude Berge: Sur une propriété combinatoire des ensembles convexes. In: Comptes rendus de l’Académie des sciences Paris. Band 248, 1959, S. 2698–2699 (MR0106435). 
• Jürg T. Marti: Konvexe Analysis (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe. Band 54). Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1977, ISBN 3-7643-0839-7 (MR0511737). 
• Josef Stoer, Christoph Witzgall: Convexity and Optimization in Finite Dimensions. I. (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 163). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1970 (MR0286498). 
• Friedrich Wille: Überdeckungen mit konvexen Mengen und nichtlineare Gleichungssysteme. In: Commentarii Mathematici Helvetici. Band 47, 1972, S. 273–288 (MR0317183).