Schenkeltransversalensatz

Der Schenkeltransversalensatz ist ein Satz der Elementargeometrie über gleichschenklige Dreiecke. Er beschreibt die Flächengleichheit bestimmter Rechtecke, die durch den Schnitt des gleichschenkligen Dreiecks mit einer bestimmten Transversalen entstehen. Der Satz liefert in einem Spezialfall zudem den Satz des Pythagoras und man kann ihn daher als dessen Verallgemeinerung betrachten. Allerdings lässt der Satz sich auch mit Hilfe des Satzes von Pythagoras beweisen, so dass beide Sätze letztlich gleichwertig bzw. logisch äquivalent sind. Der Satz folgt auch aus dem Satz von Stewart.

$|CP|^{2}=|BC|^{2}+|PA|\cdot |PB|$
(dunkelgraue Fläche = hellgraue Fläche)

$|CP|^{2}=|BC|^{2}-|PA|\cdot |PB|$
(dunkelgraue Fläche = hellgraue Fläche)

Der Schenkeltransversalensatz soll schon in den Elementen des Euklid (um 300 v. Chr.) auftauchen.

Formulierung des Satzes

Gegeben sei ein gleichschenkliges Dreieck $\triangle ABC$ mit der Basis $AB$ und der Spitze $C$. Die durch die Basis $AB$ verlaufende Gerade sei mit $g$ bezeichnet.

Weiter sei gegeben eine Transversale durch die Spitze $C$ von $\Delta ABC$, welche $g$ in einem Punkt $P$ schneidet.

Dann gilt:

$|CP|^{2}=|AC|^{2}+|PA|\cdot |PB|$,

falls $P$ nicht auf der Strecke $AB$ liegt und

$|CP|^{2}=|AC|^{2}-|PA|\cdot |PB|$,

falls $P$ zwischen $A$ und $B$ liegt.

Beweis

Skizze zum Beweis

Die Höhe $h$ teilt die Grundseite $AB$ des gleichschenkligen Dreieckes $\triangle ABC$ in zwei gleich große Abschnitte. Zudem liefert sie die rechtwinkligen Dreiecke $\triangle PDC$ und $\triangle DBC$, auf die man den Satz des Pythagoras anwendet. Das ergibt zwei Gleichungen, aus denen dann die Aussage des Satzes folgt.

Fall 1: $P$ liegt außerhalb von $AB$

$|CP|^{2}=h^{2}+\left({\tfrac {|AB|}{2}}+|PA|\right)^{2}$

$|CB|^{2}=h^{2}+\left({\tfrac {|AB|}{2}}\right)^{2}$

Löst man die zweite Gleichung nach $h^{2}$ auf und setzt den so erhaltenen Wert für $h^{2}$ in der ersten Gleichung ein, so erhält man:

${\begin{aligned}|CP|^{2}&=|CB|^{2}-\left({\tfrac {|AB|}{2}}\right)^{2}+\left({\tfrac {|AB|}{2}}+|PA|\right)^{2}\\&=|CB|^{2}+|AB|\cdot |PA|+|PA|^{2}\\&=|CB|^{2}+|PA|\cdot |PB|\end{aligned}}$

Skizze zum Beweis

Fall 2: $P$ liegt innerhalb von $AB$

$|CP|^{2}=h^{2}+\left({\tfrac {|AB|}{2}}-|PA|\right)^{2}$

$|CB|^{2}=h^{2}+\left({\tfrac {|AB|}{2}}\right)^{2}$

Löst man die zweite Gleichung nach $h^{2}$ auf und setzt den so erhaltenen Wert für $h^{2}$ in der ersten Gleichung ein, so erhält man:

${\begin{aligned}|CP|^{2}&=|CB|^{2}-\left({\tfrac {|AB|}{2}}\right)^{2}+\left({\tfrac {|AB|}{2}}-|PA|\right)^{2}\\&=|CB|^{2}-|AB|\cdot |PA|+|PA|^{2}\\&=|CB|^{2}-|PA|\cdot |PB|\end{aligned}}$

Satz des Pythagoras als Spezialfall

$|CB|^{2}=|PC|^{2}+|PB|^{2}$
(Satz des Pythagoras für $\triangle PBC$)

Betrachtet man den Spezialfall, bei dem $P$ in der Mitte der Grundseite $AB$ liegt, so ist $CP$ mit der Höhe $h$ des gleichschenkligen Dreiecks $\triangle ABC$ identisch und das Rechteck $\square PBMO$ ist ein Quadrat. Damit gilt dann der Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Dreieck $\triangle PBC$. Für ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck erhält man durch Spiegelung an einer seiner beiden Katheten, immer ein gleichschenkliges Dreieck, in dem der Schenkeltransversalensatz gilt und einem den Satz des Pythagoras liefert.

Literatur

• Heinrich Dörrie: Der Schenkel-Transversalensatz, Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht 53, 1922, S. 8–14 (Jahrbuch-Rezension)
• Theophil Lambacher, Wilhelm Schweizer (Hrsg.): Lambacher-Schweizer. Mathematisches Unterrichtswerk für höhere Schulen. Geometrie. 13. Auflage. Ausgabe E. Teil 2. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1965.