Schoen-Vermutung
Die Schoen-Vermutung ist ein Problem aus der Theorie der harmonischen Abbildungen im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie. Sie besagt, dass sich quasikonforme Abbildungen zwischen Sphären zu quasi-isometrischen harmonischen Abbildungen hyperbolischer Räume fortsetzen lassen. Für den 3-dimensionalen hyperbolischen Raum wurde sie 2013 von Vladimir Markovic bewiesen.[1] 2017 bewies er die ursprüngliche Vermutung von Richard Schoen für die hyperbolische Ebene.[2] 2018 bewiesen Marius Lemm und Vladimir Markovic zusammen den Fall des -dimensionalen hyperbolischen Raums mit .[3]
Formulierung der Schoen-Vermutung
BearbeitenEs sei der -dimensionale hyperbolische Raum und sein Rand im Unendlichen. Bekanntlich lässt sich jede Quasi-Isometrie zu einer quasikonformen Abbildung fortsetzen.
Die Schoen-Vermutung für besagt: Zu jeder quasi-konformen Abbildung
gibt es eine eindeutige quasi-isometrische und harmonische Abbildung
mit
- .
Für besagt die Schoen-Vermutung, dass es zu jeder Quasi-Symmetrie
einen eindeutigen harmonischen quasi-konformen Homöomorphismus
mit gibt. (Der Fall war die ursprünglich von Schoen aufgestellte Vermutung, die Verallgemeinerung für wurde später von Li und Wang aufgestellt.)
Verallgemeinerungen der Schoen-Vermutung gibt es unter anderen von Yves Benoist und Dominque Hulin. Insbesondere, dass zu jeder quasi-isometrischen Einbettung einer Hadamard-Mannigfaltigkeit mit negativ beschränkter Schnittkrümmung in eine Hadamard-Mannigfaltigkeit mit negativ beschränkter Schnittkrümmung eine eindeutige harmonische quasi-isometrische Einbettung in endlichem Abstand existiert.
Geschichte
BearbeitenDas Dirichlet-Problem für den hyperbolischen Raum wurde in den 80er Jahren von Anderson und Sullivan gelöst: jede stetige Funktion kann zu einer harmonischen Funktion fortgesetzt werden.
Die Schoen-Vermutung wurde für von Schoen[4] und für von Li und Wang aufgestellt. Li und Wang bewiesen auch, dass die harmonische Abbildung , wenn sie existiert, eindeutig sein muss.[5]
Für -Diffeomorphismen (die dann automatisch auch quasi-konform sind) wurde die Schoen-Vermutung von Li und Tam bewiesen.[6]
Die Schoen-Vermutung wurde von Markovic 2013 für [1] und 2017 für [2] bewiesen.
Literatur
Bearbeiten- Peter Li, Jiaping Wang: Harmonic rough isometries into Hadamard space. Asian J. Math. 2 (1998), no. 3, 419–442. online (pdf)
- Peter Li, Luen-Fai Tam: Uniqueness and regularity of proper harmonic maps. Ann. of Math. (2) 137 (1993), no. 1, 167–201. online (PDF; 3,3 MB)
- Vladimir Markovic: Harmonic maps between 3-dimensional hyperbolic spaces. Invent. Math. 199 (2015), no. 3, 921–951. doi:10.1007/s00222-014-0536-x
- Vladimir Markovic: J. Amer. Math. Soc. 30 (2017), 799–817. online (pdf)
- Marius Lemm, Vladimir Markovic: Heat flows on hyperbolic spaces. J. Differential Geom. 108 (2018), no. 3, 495–529. preprint
- Yves Benoist, Dominique Hulin: Harmonic quasi-isometric maps II: negatively curved manifolds. J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 23 (2021), no. 9, 2861–2911. preprint (PDF; 416 kB)
Einzelnachweise
Bearbeiten- ↑ a b Markovic (2015), op.cit.
- ↑ a b Markovic (2017), op.cit.
- ↑ Lemm-Markovic
- ↑ Schoen: The role of harmonic mappings in rigidity and deformation problems. Complex geometry (Osaka, 1990), 179–200, Lecture Notes in Pure and Appl. Math., 143, Dekker, New York, 1993.
- ↑ Li, Wang, op.cit.
- ↑ Li, Tam, op.cit.