Im mathematischen Teilgebiet der Topologie ist ein schwacher Hausdorffraum ein topologischer Raum mit einer gewissen Eigenschaft, die eine Abschwächung der Trennungseigenschaft des Hausdorffraums ist.

Definition

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Eine topologischer Raum   heißt schwacher Hausdorffraum, wenn für jeden kompakten Hausdorffraum   und jede stetige Abbildung   die Bildmenge   eine abgeschlossene Menge in   ist.[1]

Bemerkungen

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  • Jeder Hausdorffraum ist auch ein schwacher Hausdorffraum, denn Bilder kompakter Mengen sind kompakt und kompakte Mengen in Hausdorffräumen sind abgeschlossen, das heißt Hausdorffräume erfüllen die definierende Bedingung eines schwachen Hausdorffraums.
  • Schwache Hausdorffräume sind T1-Räume, denn jede einelementige Menge ist selbst ein kompakter Hausdorffraum, der stetig in den umgebenden Raum eingebettet ist, und muss daher abgeschlossen sein. Die schwache Hausdorffeigenschaft liegt also zwischen den Trennungsaxiomen T1 und T2.
  • Ist   ein schwacher Hausdorffraum und ist   eine stetige Abbildung eines kompakten Hausdorffraums   nach  , so ist   nicht nur kompakt, sondern ebenfalls hausdorffsch in der Relativtopologie. Sind nämlich   zwei verschiedene Punkte, so sind   und   zwei disjunkte, abgeschlossene Mengen im normalen Raum  , die sich daher durch disjunkte, offene Mengen   trennen lassen. Dann sind   und   disjunkte, relativ offene Mengen in  , die   und   trennen.
  • Produkte und Koprodukte von Familien schwacher Hausdorffräume sind wieder schwache Hausdorffräume.[2]

Beispiele

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  • Die Einpunktkompaktifizierung von   ist ein schwacher Hausdorffraum, der kein Hausdorffraum ist.
  • Es sei   eine überabzählbare Menge mit der koabzählbaren Topologie. Dann ist   ein schwacher Hausdorffraum, denn eine kompakte Teilmenge ist endlich und daher abgeschlossen. Der Raum   ist nicht hausdorffsch, je zwei nicht-leere offene Mengen haben einen nicht-leeren Durchschnitt.
  • Die Menge   mit der kofiniten Topologie ist ein T1-Raum, der nicht schwach hausdorffsch ist, denn das Einheitsintervall mit der üblichen euklidischen Topologie ist ein kompakter Hausdorffraum, die Inklusion   ist stetig, aber das Bild   ist nicht abgeschlossen.

Einzelnachweise

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  1. Birgit Richter: From Categories to Homotopy Theory. Cambridge University Press, 2020, ISBN 978-1-108-47962-2, Definition 8.5.9.
  2. Stefan Schwede: Global Homotopy Theory. Cambridge University Press, 2018, ISBN 978-1-108-42581-0, Appendix A, Seite 694.
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