Seiberg-Witten-Gleichung

Die Seiberg-Witten-Gleichungen sind partielle Differentialgleichungen aus der Seiberg-Witten-Theorie in der theoretischen Physik. Ihre Lösungen heißen Monopole. In der Mathematik wird der Modulraum ihrer Lösungen zur Konstruktion der Seiberg-Witten-Invarianten verwendet. Beachtlicherweise führen diese zu stärkeren Resultaten als die Donaldson-Invarianten aus der Donaldson-Theorie, welche auf dem Modulraum der Lösungen der Yang-Mills-Gleichungen beruhen, obwohl die Seiberg-Witten-Gleichungen eine wesentlich einfachere Struktur haben. Eine wichtige Anwendung ist die Untersuchung exotischer glatter Strukturen, welche durch die partiellen Differentialgleichungen erfasst werden. Trotz der stärkeren Resultate der Seiberg-Witten-Invarianten gibt es diesbezüglich jedoch weiterhin ungelöste Probleme, wie etwa ob exotische Sphären in vier Dimensionen existieren.

Grundlagen

Sei $M$ eine kompakte, orientierbare Riemannsche 4-Mannigfaltigkeit. Jede solche Mannigfaltigkeit besitzt eine Spin^c-Struktur. Diese lässt sich beschreiben als Hochhebung der klassifizierenden Abbildung $f\colon M\rightarrow \operatorname {BSO} (4)$ ihres Tangentialbündels $TM=f^{*}\gamma _{\mathbb {R} }^{4}$ zu einer Abbildung ${\widehat {f}}\colon M\rightarrow \operatorname {BSpin} ^{\mathrm {c} }(4)$, also sodass $f={\mathcal {B}}\phi \circ {\widehat {f}}$ mit der kanonischen Projektion $\phi \colon \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(4)\rightarrow \operatorname {SO} (4)$. Speziell in vier Dimensionen gibt es einen exeptionellen Isomorphismus:

$\operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(4)\cong \operatorname {U} (2)\times _{\operatorname {U} (1)}\operatorname {U} (2)\cong \left\{A^{\pm }\in \operatorname {U} (2)|\det(A^{-})=\det(A^{+})\right\}.$

Dadurch zerfällt die Spin^c-Struktur ${\widehat {f}}\colon M\rightarrow \operatorname {BSpin} ^{\mathrm {c} }(4)$ in zwei klassifizierende Abbildungen ${\widehat {f}}^{\pm }\colon M\rightarrow \operatorname {BU} (2)$ mit ${\mathcal {B}}\det \circ f^{-}={\mathcal {B}}\det \circ f^{+}$. Diese erzeugen jeweils komplexe Ebenenbündel $W^{\pm }:=({\widehat {f}}^{\pm })^{*}\gamma _{\mathbb {C} }^{2}$ mit gleichem Determinantenbündel $L:=\det(W^{-})=\det(W^{+})$ und über die Whitney-Summe einem zugehörigen Spinorbündel $W=W^{-}\oplus W^{+}$. Da das Determinantenbündel die erste Chern-Klasse erhält, gilt $c_{1}(L)=c_{1}(W^{-})=c_{1}(W^{+})$. Jedoch verfügen $W^{-}$ und $W^{+}$ noch über die zweite Chern-Klasse, welche weitere Informationen enthält. Zudem entspricht dem komplexen Linienbündel $L$ über das Rahmenbündel ein $\operatorname {U} (1)$-Hauptfaserbündel $\operatorname {Fr} _{\operatorname {U} }(L)$. Für dieses gilt:

$L\cong \operatorname {Fr} _{\operatorname {U} }(L)\times _{\operatorname {U} (1)}\mathbb {C}$

${\underline {\operatorname {End} }}(L)\cong \operatorname {Ad} \operatorname {Fr} _{\operatorname {U} }(L)$

unter Verwendung des balancierten Produktes sowie des adjungierten Vektorbündels. Glatte Schnitte von $W^{-}$, deren Vektorraum mit $\Gamma ^{\infty }(W^{-})$ oder kurz $\Gamma (W^{-})$ notiert wird, werden antiselbstdual und glatte Schnitte von $W^{+}$, deren Vektorraum mit $\Gamma ^{\infty }(W^{+})$ oder kurz $\Gamma (W^{+})$ notiert wird, werden selbstduale Spinorfelder genannt.

Ungestörte Gleichungen

Die Seiberg-Witten-Gleichungen sind Gleichungen für ein „selbstduales Spinorfeld“ $\phi$ (d. h. einen Schnitt von $W^{+}$) und einen $U(1)$-Zusammenhang $A$ auf dem Determinantenbündel $L$. Sie lauten:

$D^{A}\phi =0,$

$F_{A}^{+}+\tau (\phi )=0.$

Dabei bezeichnet $D^{A}$ den Dirac-Operator des Zusammenhangs, $F_{A}$ die Krümmungsform des Zusammenhangs, $F_{A}^{+}:={\frac {1}{2}}(F_{A}+F_{A}^{*})$ ihren selbstdualen Anteil, und $\tau (\phi )$ den spurfreien Anteil des Endomorphismus $\theta \to \langle \theta ,\phi \rangle \phi$ von $W^{+}$.

Gestörte Gleichungen

Für eine bzgl. der Riemannschen Metrik selbst-duale 2-Form $\eta \in \Omega ^{2,+}(M,i\mathbb {R} )$ betrachtet man die gestörten Seiberg-Witten-Gleichungen

$D^{A}\phi =0,$

$F_{A}^{+}+\tau (\phi )+\eta =0.$

Literatur

• N. Seiberg, E. Witten: Electric-Magnetic Duality, Monopole Condensation, and Confinement in N = 2 Supersymmetric Yang-Mills Theory. In: Nuclear Physics B. Volume 426, Nr. 1, 5. September 1994, S. 19–52 (englisch). 
• Liviu I. Nicolaescu: Notes on Seiberg-Witten Theory. (englisch, nd.edu [PDF]).