Die Seiberg-Witten-Gleichungen stammen aus der Seiberg-Witten-Theorie in der theoretischen Physik. Ihre Lösungen heißen Monopole. In der Mathematik wird der Modulraum ihrer Lösungen zur Konstruktion der Seiberg-Witten-Invarianten verwendet.

Gleichungen

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Sei   eine kompakte, differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer Riemannschen Metrik und einer Spinc-Struktur mit assoziierten Spinorbündeln  .

Die Seiberg-Witten-Gleichungen sind Gleichungen für ein „selbstduales Spinorfeld“   (d. h. einen Schnitt von  ) und einen  -Zusammenhang   auf dem Determinantenbündel  . Sie lauten:

 
 

Dabei bezeichnet   den Dirac-Operator des Zusammenhangs,   die Krümmungsform des Zusammenhangs,   ihren selbstdualen Anteil, und   den spurfreien Anteil des Endomorphismus   von  .

Gestörte Gleichungen

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Für eine bzgl. der Riemannschen Metrik selbst-duale 2-Form   betrachtet man die gestörten Seiberg-Witten-Gleichungen

 
 

Literatur

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  • N. Seiberg, E. Witten: Electric-Magnetic Duality, Monopole Condensation, and Confinement in N = 2 Supersymmetric Yang-Mills Theory. In: Nuclear Physics B. Volume 426, Nr. 1, 5. September 1994, S. 19–52 (englisch).