Shimizusche L-Funktion

Die Shimizusche L-Funktion ist im mathematischen Teilgebiet der Algebra eine Dirichlet-Reihe, die einem total reellen algebraischen Zahlkörper zugeordnet wird. Eingeführt wurde die Shimizusche L-Funktion von Hideo Shimizu im Jahr 1963. Michael Atiyah, Harold Donnelly und Isadore Singer definierten im Jahr 1983 den Signaturdefekt des Randes einer Mannigfaltigkeit als ihre Eta-Invariante und zeigten, dass sich der Hirzebruchsche Signaturdefekt einer Cusp-Singularität einer Hilbertschen Modulfläche durch die Auswertung einer Shimizuschen L-Funktion bei $s=0$ oder $s=1$ ausdrücken lässt.

Definition

Für ein total reellen algebraischen Zahlkörper $K$, ein Gitter $M$ in diesem und eine Untergruppe $V$ maximalen Ranges in der Gruppe der total positiven und vom Gitter erhaltenen Einheiten ist dessen Shimizusche L-Funktion gegeben durch:

$L(M,V,s)=\sum _{\mu \in \{M-0\}/V}{\frac {\operatorname {sign} N(\mu )}{|N(\mu )|^{s}}}.$

Literatur

• Hideo Shimizu: On discontinuous groups operating on the product of the upper half planes. In: Annals of Mathematics. Band 77, Nr. 1, 1963, ISSN 0003-486X, S. 5751, doi:10.2307/1970201, PMID 16593231, PMC 346984 (freier Volltext), bibcode:1982PNAS...79.5751A, JSTOR:1970201 (englisch). 
• Michael Atiyah, Harold Donnelly und Isadore Singer: Geometry and analysis of Shimizu L-functions. In: Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. Band 79, Nr. 18, 1982, ISSN 0027-8424, S. 5751, doi:10.1073/pnas.79.18.5751, PMID 16593231, PMC 346984 (freier Volltext), bibcode:1982PNAS...79.5751A, JSTOR:12685 (englisch). 
• Michael Atiyah, Harold Donnelly und Isadore Singer: Eta invariants, signature defects of cusps, and values of L-functions. In: Annals of Mathematics. Band 118, Nr. 1, 1982, ISSN 0003-486X, S. 131–177, doi:10.2307/2006957, JSTOR:2006957 (englisch). 

Weblinks

• Shimizu L-function auf nLab (englisch)