Eta-Invariante

Die Eta-Invariante (auch Atiyah-Patodi-Singer-Invariante) ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialtopologie eine Invariante (jedoch keine topologische Invariante) eines selbstadjungierten elliptischen Differentialoperators auf einer kompakten Mannigfaltigkeit. Vereinfacht kann diese als Anzahl der positiven minus Anzahl der negativen Eigenwerte erklärt werden, jedoch sind beide Anzahlen häufig unendlich und machen eine Zetafunktions-Regularisierung notwendig. Die Eta-Invariante wurde von Michael Atiyah, Vijay Patodi und Isadore Singer bei der Erweiterung des Hirzebruchschen Signatursatzes auf Mannigfaltigkeiten mit Rand in zwei Papern aus den Jahren 1973 und 1975 eingeführt. Die Benennung stammt von ihrer Verallgemeinerung der Dirichletschen Etafunktion.

Michael Atiyah, Harold Donnelly und Isadore Singer definierten im Jahr 1983 den Signaturdefekt des Randes einer Mannigfaltigkeit als ihre Eta-Invariante und zeigten, dass sich der Hirzebruchsche Signaturdefekt einer Cusp-Singularität einer Hilbertschen Modulfläche durch die Auswertung einer Shimizuschen L-Funktion bei $s=0$ oder $s=1$ ausdrücken lässt.

Definition

Für einen selbstadjungierten Operator $D$ (meist wird ein Dirac-Operator auf einer Spin-Mannigfaltigkeit betrachtet) ist die Summe:

$\eta _{D}(s)=\sum _{\lambda \neq 0}{\frac {\operatorname {sgn}(\lambda )}{|\lambda |^{s}}}$

über alle nicht verschwindenden Eigenwerte $\lambda$ (welche aufgrund der Selbstadjungiertheit alle reell sein müssen) an den Stellen mit Konvergenz und andernfalls durch deren analytische Fortsetzung definierte Eta-Funktion. Die Auswertung $\eta _{D}(0)$ ist die Eta-Invariante.

Literatur

• Michael Atiyah, Vijay Patodi und Isadore Singer: Spectral asymmetry and Riemannian geometry. In: The Bulletin of the London Mathematical Society. Band 5, Nr. 2, 1973, ISSN 0024-6093, S. 229–234, doi:10.1112/blms/5.2.229. 
• Michael Atiyah, Vijay Patodi und Isadore Singer: Spectral asymmetry and Riemannian geometry. I. In: Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. Band 77, Nr. 1, 1975, S. 43–69, bibcode:1975MPCPS..77...43A. 
• Michael Atiyah, Harold Donnelly und Isadore Singer: Eta invariants, signature defects of cusps, and values of L-functions. In: Annals of Mathematics. Band 118, Nr. 1, 1982, ISSN 0003-486X, S. 131–177, doi:10.2307/2006957, JSTOR:2006957. 

Weblinks

• eta invariant auf nLab (englisch)