Ihre zahlentheoretische Bedeutung erhält die
η
{\displaystyle \eta }
-Funktion durch ihre Verbindung zu den Primzahlen , die sich für
Re
s
>
1
{\displaystyle \operatorname {Re} s>1}
formelhaft durch das Euler-Produkt
η
(
s
)
=
(
1
−
1
2
s
−
1
)
∏
p
p
r
i
m
1
1
−
1
p
s
=
(
1
−
1
2
s
−
1
)
⋅
1
(
1
−
1
2
s
)
(
1
−
1
3
s
)
(
1
−
1
5
s
)
⋯
{\displaystyle \eta (s)=\left(1-{\frac {1}{2^{s-1}}}\right)\prod _{p\ \mathrm {prim} }{\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}=\left(1-{\frac {1}{2^{s-1}}}\right)\cdot {\frac {1}{(1-{\frac {1}{2^{s}}})(1-{\frac {1}{3^{s}}})(1-{\frac {1}{5^{s}}})\cdots }}}
ausdrücken lässt.
In ganz
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
gilt die Identität:
η
(
1
−
s
)
=
2
s
−
1
1
−
2
s
−
1
π
−
s
cos
(
π
s
2
)
Γ
(
s
)
η
(
s
)
.
{\displaystyle \eta (1-s)={\frac {2^{s}-1}{1-2^{s-1}}}\pi ^{-s}\cos \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (s)\eta (s).}
Etafunktionswerte von negativen ganzen Zahlen
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Es gilt:
η
(
0
)
=
1
2
{\displaystyle \eta (0)={\tfrac {1}{2}}}
η
(
−
1
)
=
1
4
{\displaystyle \eta (-1)={\tfrac {1}{4}}}
Für natürliche
k
{\displaystyle k}
gilt mit den Bernoulli-Zahlen
B
k
{\displaystyle B_{k}}
η
(
1
−
k
)
=
2
k
−
1
k
B
k
{\displaystyle \eta (1-k)={\frac {2^{k}-1}{k}}B_{k}}
Der Wert η(2) ergibt π²/12 und steht mit dem Basler Problem im Zusammenhang.
Mit dem Satz von Fubini kann dieser Wert bewiesen werden:
η
(
2
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
1
n
2
=
∑
n
=
1
∞
∫
0
1
(
−
1
)
n
−
1
1
n
x
n
−
1
d
x
=
∫
0
1
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
1
n
x
n
−
1
d
x
=
{\displaystyle \eta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {1}{n^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{1}(-1)^{n-1}{\frac {1}{n}}{x}^{n-1}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {1}{n}}{x}^{n-1}\,\mathrm {d} x=}
=
∫
0
1
1
x
ln
(
x
+
1
)
d
x
=
∫
0
1
∫
0
1
4
3
(
x
2
+
2
x
y
+
1
)
+
2
x
3
(
x
2
y
+
1
)
−
1
3
(
x
y
+
1
)
d
y
d
x
=
{\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {1}{x}}\ln(x+1)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {4}{3(x^{2}+2xy+1)}}+{\frac {2x}{3(x^{2}y+1)}}-{\frac {1}{3(xy+1)}}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=}
=
∫
0
1
∫
0
1
4
3
(
x
2
+
2
x
y
+
1
)
+
2
x
3
(
x
2
y
+
1
)
−
1
3
(
x
y
+
1
)
d
x
d
y
=
∫
0
1
π
−
2
arcsin
(
y
)
3
1
−
y
2
d
y
=
π
2
12
{\displaystyle =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {4}{3(x^{2}+2xy+1)}}+{\frac {2x}{3(x^{2}y+1)}}-{\frac {1}{3(xy+1)}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}{\frac {\pi -2\arcsin(y)}{3{\sqrt {1-y^{2}}}}}\,\mathrm {d} y={\frac {\pi ^{2}}{12}}}
Für gerade Argumente
2
n
=
2
,
4
,
6
,
8
,
…
{\displaystyle 2n=2,4,6,8,\dots }
gilt die allgemeine Formel:
η
(
2
n
)
=
(
−
1
)
n
+
1
2
2
n
−
1
−
1
(
2
n
)
!
B
2
n
π
2
n
{\displaystyle \eta (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {2^{2n-1}-1}{(2n)!}}B_{2n}\pi ^{2n}}
Somit lässt sich der Zahlenwert von
η
(
2
n
)
{\displaystyle \eta (2n)}
stets in der Form
η
(
2
n
)
=
p
n
q
n
π
2
n
{\displaystyle \eta (2n)={\frac {p_{n}}{q_{n}}}\pi ^{2n}}
schreiben, wobei
p
n
{\displaystyle p_{n}}
und
q
n
{\displaystyle q_{n}}
zwei positive ganze Zahlen bezeichnen.
2n
pn
qn
η
(
2
n
)
{\displaystyle \eta (2n)}
2
1
12
0,82246703342411321823…
4
7
720
0,94703282949724591757…
6
31
30240
0,98555109129743510409…
8
127
1209600
0,99623300185264789922…
10
73
6842880
0,99903950759827156563…
12
1414477
1307674368000
0,99975768514385819085…
14
8191
74724249600
0,99993917034597971817…
16
16931177
1524374691840000
0,99998476421490610644…
18
5749691557
5109094217170944000
0,99999618786961011347…
20
91546277357
802857662698291200000
0,99999904661158152211…
Die ersten Werte für ungerade Argumente sind
η
(
1
)
=
ln
2
{\displaystyle \eta (1)=\ln 2}
(die alternierende harmonische Reihe )
η
(
3
)
=
3
4
ζ
(
3
)
{\displaystyle \eta (3)={\frac {3}{4}}\zeta (3)}
η
(
5
)
=
15
16
ζ
(
5
)
.
{\displaystyle \eta (5)={\frac {15}{16}}\zeta (5).}
Aus der Relation
η
(
s
)
=
(
1
−
2
1
−
s
)
⋅
ζ
(
s
)
{\displaystyle \eta (s)=(1-2^{1-s})\cdot \zeta (s)}
ist leicht zu folgern, dass
η
(
s
)
{\displaystyle \eta (s)}
sowohl für alle
m
∈
Z
∖
{
0
}
{\displaystyle m\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}}
bei
s
m
=
1
+
2
π
m
i
ln
2
{\displaystyle s_{m}=1+{\tfrac {2\pi mi}{\ln 2}}}
, als auch zusätzlich an denselben Stellen wie
ζ
(
s
)
{\displaystyle \zeta (s)}
verschwindet . Dazu gehören sowohl die sogenannten „trivialen“ Nullstellen bei
s
=
−
2
,
−
4
,
−
6
,
−
8
,
…
{\displaystyle s=-2,-4,-6,-8,\dots }
, also
η
(
−
2
)
=
η
(
−
4
)
=
η
(
−
6
)
=
η
(
−
8
)
=
⋯
=
0
,
{\displaystyle \eta (-2)=\eta (-4)=\eta (-6)=\eta (-8)=\cdots =0,}
als auch die „nicht-trivialen“ Nullstellen im Streifen
{
s
∈
C
|
0
<
Re
s
<
1
}
{\displaystyle \{s\in \mathbb {C} |0<\operatorname {Re} s<1\}}
.
Die berühmte und bis heute unbewiesene Riemannsche Vermutung besagt, dass alle nicht-trivialen Nullstellen den Realteil 1/2 besitzen.
Ableitungsidentität mit der Zeta-Ableitung
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Die Ableitung der
η
{\displaystyle \eta }
-Funktion kann für
Re
s
>
0
{\displaystyle \operatorname {Re} s>0}
wieder als Dirichletreihe dargestellt werden:
η
′
(
s
)
=
∑
n
=
2
∞
(
−
1
)
n
ln
n
n
s
.
{\displaystyle \eta '(s)=\sum _{n=2}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\ln n}{n^{s}}}.}
Ein geschlossener Ausdruck für alle komplexen Zahlen
s
∈
C
{\displaystyle s\in \mathbb {C} }
kann über die Ableitung der Riemannschen Zetafunktion ausgedrückt werden:
η
′
(
s
)
=
d
d
s
(
1
−
2
1
−
s
)
ζ
(
s
)
=
2
1
−
s
(
ln
2
)
ζ
(
s
)
+
(
1
−
2
1
−
s
)
ζ
′
(
s
)
,
{\displaystyle \eta '(s)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}(1-2^{1-s})\zeta (s)={\frac {}{}}2^{1-s}(\ln 2)\zeta (s)+(1-2^{1-s})\zeta ^{\prime }(s),}
Diese Formel kann unter Anwendung der Produktregel gewonnen werden.
Eine zu dieser Formel äquivalente und somit ebenso geschlossen für alle komplexen Zahlen
s
∈
C
{\displaystyle s\in \mathbb {C} }
gültige Formel kann erneut mit der Mellin-Transformation beziehungsweise als Derivat der Abel-Plana-Summenformel hervorgebracht werden:
η
′
(
s
)
=
d
d
s
{
1
2
+
∫
0
∞
sin
[
s
arctan
(
x
)
]
(
x
2
+
1
)
s
/
2
sinh
(
π
x
)
d
x
}
{\displaystyle \eta '(s)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\biggl \{}{\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin[s\arctan(x)]}{(x^{2}+1)^{s/2}\sinh(\pi x)}}\,\mathrm {d} x{\biggr \}}}
η
′
(
s
)
=
∫
0
∞
2
arctan
(
x
)
cos
[
s
arctan
(
x
)
]
−
ln
(
x
2
+
1
)
sin
[
s
arctan
(
x
)
]
2
(
x
2
+
1
)
s
/
2
sinh
(
π
x
)
d
x
{\displaystyle \eta '(s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan(x)\cos[s\arctan(x)]-\ln(x^{2}+1)\sin[s\arctan(x)]}{2(x^{2}+1)^{s/2}\sinh(\pi x)}}\,\mathrm {d} x}
Diese Formeln entstehen nach dem Muster, welches von Niels Henrik Abel in seinem genannten Werk beschrieben wurde. Analog hierzu kann auch mit der Abel-Plana-Formel aus dem Werk von Borwein, Bradley und Crandall dieses Verfahren durchgeführt werden, welche die Dirichletsche Etafunktion als das Produkt der Riemannschen Zetafunktion mit einer Potenzfunktion zur Basis Zwei darstellt. Bei dieser Ableitung werden somit Zweierpotenzfunktionen abgeleitet und somit wird der Natürliche Logarithmus von Zwei als Vorfaktor bei den Summanden hervorgebracht:
η
′
(
s
)
=
d
d
s
⟨
(
1
2
−
2
−
s
)
{
s
+
1
s
−
1
+
∫
0
∞
4
sin
[
s
arctan
(
x
)
]
(
1
+
x
2
)
s
/
2
[
exp
(
2
π
x
)
−
1
]
d
x
}
⟩
{\displaystyle \eta '(s)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\biggl \langle }{\biggl (}{\dfrac {1}{2}}-2^{-s}{\biggr )}{\biggl \{}{\frac {s+1}{s-1}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {4\sin[s\arctan(x)]}{(1+x^{2})^{s/2}[\exp(2\pi x)-1]}}\,\mathrm {d} x{\biggr \}}{\biggr \rangle }}
η
′
(
s
)
=
2
−
s
(
s
2
−
1
)
ln
(
2
)
+
2
1
−
s
−
1
(
s
−
1
)
2
+
{\displaystyle \eta '(s)={\frac {2^{-s}(s^{2}-1)\ln(2)+2^{1-s}-1}{(s-1)^{2}}}\,+}
+
∫
0
∞
(
2
−
2
2
−
s
)
arctan
(
x
)
cos
[
s
arctan
(
x
)
]
+
[
2
2
−
s
ln
(
2
)
−
(
1
−
2
1
−
s
)
ln
(
x
2
+
1
)
]
sin
[
s
arctan
(
x
)
]
(
1
+
x
2
)
s
/
2
[
exp
(
2
π
x
)
−
1
]
d
x
{\displaystyle +\int _{0}^{\infty }{\frac {(2-2^{2-s})\arctan(x)\cos[s\arctan(x)]+[2^{2-s}\ln(2)-(1-2^{1-s})\ln(x^{2}+1)]\sin[s\arctan(x)]}{(1+x^{2})^{s/2}[\exp(2\pi x)-1]}}\,\mathrm {d} x}
Rechenbeispiel[ 3] für s = 0:
η
′
(
0
)
=
∫
0
∞
arctan
(
x
)
sinh
(
π
x
)
d
x
=
1
2
ln
(
π
2
)
≈
0,225
7913526447274323630976
{\displaystyle \eta '(0)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(x)}{\sinh(\pi x)}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {\pi }{2}}\right)\approx 0{,}2257913526447274323630976}
Alternativ hierzu kann dieses Verfahren mit der Formel nach Borwein, Bradley und Crandall angewendet werden:
η
′
(
0
)
=
1
−
ln
(
2
)
+
∫
0
∞
−
2
arctan
(
x
)
exp
(
2
π
x
)
−
1
d
x
=
1
2
ln
(
π
2
)
{\displaystyle \eta '(0)=1-\ln(2)+\int _{0}^{\infty }{\frac {-2\arctan(x)}{\exp(2\pi x)-1}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {\pi }{2}}\right)}
Rechenbeispiel für
s
=
1
{\displaystyle s=1}
:
η
′
(
1
)
=
∫
0
∞
2
arctan
(
x
)
−
x
ln
(
x
2
+
1
)
2
(
x
2
+
1
)
sinh
(
π
x
)
d
x
=
γ
ln
(
2
)
−
1
2
ln
(
2
)
2
≈
0,159
86890374243097175694787
{\displaystyle \eta '(1)=\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan(x)-x\ln(x^{2}+1)}{2(x^{2}+1)\sinh(\pi x)}}\,\mathrm {d} x=\gamma \ln(2)-{\frac {1}{2}}\ln(2)^{2}\approx 0{,}15986890374243097175694787}
Alternativ hierzu kann dieses Verfahren angewendet werden:
η
′
(
1
)
=
[
lim
s
→
1
2
−
s
(
s
2
−
1
)
ln
(
2
)
+
2
1
−
s
−
1
(
s
−
1
)
2
]
+
∫
0
∞
2
ln
(
2
)
sin
[
arctan
(
x
)
]
(
x
2
+
1
)
1
/
2
[
exp
(
2
π
x
)
−
1
]
d
x
=
{\displaystyle \eta '(1)={\biggl [}\lim _{s\rightarrow 1}{\frac {2^{-s}(s^{2}-1)\ln(2)+2^{1-s}-1}{(s-1)^{2}}}{\biggr ]}+\int _{0}^{\infty }{\frac {2\ln(2)\sin[\arctan(x)]}{(x^{2}+1)^{1/2}[\exp(2\pi x)-1]}}\,\mathrm {d} x=}
=
1
2
[
ln
(
2
)
−
ln
(
2
)
2
]
+
∫
0
∞
2
ln
(
2
)
sin
[
arctan
(
x
)
]
(
x
2
+
1
)
1
/
2
[
exp
(
2
π
x
)
−
1
]
d
x
=
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}{\bigl [}\ln(2)-\ln(2)^{2}{\bigr ]}+\int _{0}^{\infty }{\frac {2\ln(2)\sin[\arctan(x)]}{(x^{2}+1)^{1/2}[\exp(2\pi x)-1]}}\,\mathrm {d} x=}
=
1
2
[
ln
(
2
)
−
ln
(
2
)
2
]
+
ln
(
2
)
∫
0
∞
2
x
(
x
2
+
1
)
[
exp
(
2
π
x
)
−
1
]
d
x
=
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}{\bigl [}\ln(2)-\ln(2)^{2}{\bigr ]}+\ln(2)\int _{0}^{\infty }{\frac {2\,x}{(x^{2}+1)[\exp(2\pi x)-1]}}\,\mathrm {d} x=}
=
γ
ln
(
2
)
−
1
2
ln
(
2
)
2
{\displaystyle =\gamma \ln(2)-{\frac {1}{2}}\ln(2)^{2}}
Denn in Bezug auf die Euler-Mascheroni-Konstante gilt diese Identität:
∫
0
∞
2
x
(
x
2
+
1
)
[
exp
(
2
π
x
)
−
1
]
d
x
=
γ
−
1
2
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {2\,x}{(x^{2}+1)[\exp(2\pi x)-1]}}\,\mathrm {d} x=\gamma -{\frac {1}{2}}}
Die Integralformel bei dem Ausdruck für
η
′
(
0
)
{\displaystyle \eta '(0)}
nach dem Muster von Borwein, Bradley und Crandall kann mit Hilfe der Definition des Logarithmus Naturalis aus der Gammafunktion nach den britischen Mathematikern Edmund Taylor Whittaker und George Neville Watson hergeleitet werden:
ln
[
Γ
(
x
)
]
=
(
x
−
1
2
)
ln
(
x
)
−
x
+
1
2
ln
(
2
π
)
+
2
x
∫
0
∞
arctan
(
y
)
exp
(
2
π
x
y
)
−
1
d
y
{\displaystyle \ln {\bigl [}\Gamma (x){\bigr ]}={\bigl (}x-{\frac {1}{2}}{\bigr )}\ln(x)-x+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi )+2x\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(y)}{\exp(2\pi xy)-1}}\,\mathrm {d} y}
Ableitungsidentität mit der Digammafunktion
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Eine weitere Formel für
s
>
−
1
{\displaystyle s>-1}
kann mit Hilfe der Digammafunktion hergeleitet werden.
Es gilt folgende Ableitung für die Gammafunktion:
d
d
s
Γ
(
s
+
1
)
=
Γ
(
s
+
1
)
ψ
(
s
+
1
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\Gamma (s+1)=\Gamma (s+1)\,\psi (s+1)}
Und es gilt dann:
η
′
(
s
)
=
d
d
s
[
2
s
−
1
Γ
(
s
+
1
)
∫
0
∞
x
s
sech
(
x
)
2
d
x
]
{\displaystyle \eta '(s)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\biggl [}{\frac {2^{s-1}}{\Gamma (s+1)}}\int _{0}^{\infty }x^{s}\operatorname {sech} (x)^{2}\,\mathrm {d} x{\biggr ]}}
η
′
(
s
)
=
2
s
−
1
Γ
(
s
+
1
)
∫
0
∞
x
s
sech
(
x
)
2
[
ln
(
2
x
)
−
ψ
(
s
+
1
)
]
d
x
{\displaystyle \eta '(s)={\frac {2^{s-1}}{\Gamma (s+1)}}\int _{0}^{\infty }x^{s}\operatorname {sech} (x)^{2}[\ln(2x)-\psi (s+1)]\,\mathrm {d} x}
Die Ursprungsstammfunktion der Dirichletschen Etafunktion hat diese Identität:
η
(
s
)
=
1
2
+
∫
0
∞
sin
[
s
arctan
(
x
)
]
(
x
2
+
1
)
s
/
2
sinh
(
π
x
)
d
x
{\displaystyle \eta (s)={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin[s\arctan(x)]}{(x^{2}+1)^{s/2}\sinh(\pi x)}}\,\mathrm {d} x}
∫
0
s
η
(
t
)
d
t
=
s
2
+
∫
0
∞
4
(
x
2
+
1
)
s
/
2
arctan
(
x
)
−
4
arctan
(
x
)
cos
[
s
arctan
(
x
)
]
−
2
ln
(
x
2
+
1
)
sin
[
s
arctan
(
x
)
]
(
x
2
+
1
)
s
/
2
[
ln
(
x
2
+
1
)
2
+
4
arctan
(
x
)
2
]
sinh
(
π
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{0}^{s}\eta (t)\,\mathrm {d} t={\frac {s}{2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {4(x^{2}+1)^{s/2}\arctan(x)-4\arctan(x)\cos[s\arctan(x)]-2\ln(x^{2}+1)\sin[s\arctan(x)]}{(x^{2}+1)^{s/2}[\ln(x^{2}+1)^{2}+4\arctan(x)^{2}]\sinh(\pi x)}}\,\mathrm {d} x}
Durch Integration der genannten Abel-Plana-Formel kann dieser Ausdruck hervorgebracht werden. Denn folgende Integralformel ist grundsätzlich gültig:
∫
0
s
sin
(
a
t
)
exp
(
b
t
)
d
t
=
a
exp
(
b
s
)
−
a
cos
(
a
s
)
−
b
sin
(
a
s
)
(
a
2
+
b
2
)
exp
(
b
s
)
{\displaystyle \int _{0}^{s}{\frac {\sin(at)}{\exp(bt)}}\,\mathrm {d} t={\frac {a\exp(bs)-a\cos(as)-b\sin(as)}{(a^{2}+b^{2})\exp(bs)}}}
Durch Einsatz von
a
=
arctan
(
x
)
{\displaystyle a=\arctan(x)}
und
b
=
ln
(
x
2
+
1
)
/
2
{\displaystyle b=\ln(x^{2}+1)/2}
erhält man direkt die zuvor gezeigte Formel.
Mit der genannten Stammfunktionsformel für die Dirichletsche Etafunktion gilt zum Beispiel:
∫
0
1
η
(
t
)
d
t
=
1
2
+
∫
0
∞
4
(
x
2
+
1
)
1
/
2
arctan
(
x
)
−
4
arctan
(
x
)
cos
[
arctan
(
x
)
]
−
2
ln
(
x
2
+
1
)
sin
[
arctan
(
x
)
]
(
x
2
+
1
)
1
/
2
[
ln
(
x
2
+
1
)
2
+
4
arctan
(
x
)
2
]
sinh
(
π
x
)
d
x
=
{\displaystyle \int _{0}^{1}\eta (t)\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {4(x^{2}+1)^{1/2}\arctan(x)-4\arctan(x)\cos[\arctan(x)]-2\ln(x^{2}+1)\sin[\arctan(x)]}{(x^{2}+1)^{1/2}[\ln(x^{2}+1)^{2}+4\arctan(x)^{2}]\sinh(\pi x)}}\,\mathrm {d} x=}
=
1
2
+
∫
0
∞
4
(
x
2
+
1
)
arctan
(
x
)
−
4
arctan
(
x
)
−
2
x
ln
(
x
2
+
1
)
(
x
2
+
1
)
[
ln
(
x
2
+
1
)
2
+
4
arctan
(
x
)
2
]
sinh
(
π
x
)
d
x
≈
0,602
11234931037155497112632
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {4(x^{2}+1)\arctan(x)-4\arctan(x)-2\,x\ln(x^{2}+1)}{(x^{2}+1)[\ln(x^{2}+1)^{2}+4\arctan(x)^{2}]\sinh(\pi x)}}\,\mathrm {d} x\approx 0{,}60211234931037155497112632}
Dirichletsche und Riemannsche Funktionen
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Die Verwandtschaften von
η
{\displaystyle \eta }
zu der Dirichletschen
λ
{\displaystyle \lambda }
-Funktion [ 4] und der Riemannschen
ζ
{\displaystyle \zeta }
-Funktion werden durch folgende Formel zum Ausdruck gebracht:[ 5]
ζ
(
v
)
2
v
=
λ
(
v
)
2
v
−
1
=
η
(
v
)
2
v
−
2
{\displaystyle {\frac {\zeta (v)}{2^{v}}}={\frac {\lambda (v)}{2^{v}-1}}={\frac {\eta (v)}{2^{v}-2}}}
Deswegen gilt auch:
ζ
(
v
)
+
η
(
v
)
=
2
λ
(
v
)
.
{\displaystyle \zeta (v)+\eta (v)=2\lambda (v).}
Die Dirichletsche eta-Funktion ist ein Spezialfall des Polylogarithmus , denn es gilt:
η
(
x
)
=
−
L
i
x
(
−
1
)
.
{\displaystyle \eta (x)=-\mathrm {Li} _{x}(-1).}
Damit ist sie auch ein Spezialfall der Lerchschen Zeta-Funktion :
η
(
s
)
=
Φ
(
−
1
,
s
,
1
)
.
{\displaystyle \eta (s)=\Phi (-1,s,1).}
Zur Ermittlung der Dirichletschen Etafunktionswerte und Lambdafunktionswerte von geraden Zahlen dienen auch folgende zwei Formeln:
λ
(
2
n
+
2
)
=
1
n
∑
m
=
1
n
η
(
2
m
)
λ
(
2
n
+
2
−
2
m
)
{\displaystyle \lambda (2n+2)={\frac {1}{n}}\sum _{m=1}^{n}\eta (2m)\lambda (2n+2-2m)}
η
(
v
)
=
2
v
−
2
2
v
−
1
λ
(
v
)
{\displaystyle \eta (v)={\frac {2^{v}-2}{2^{v}-1}}\,\lambda (v)}
Auf diese Weise können kaskadenartig die Dirichletschen Etafunktionswerte hervorgebracht werden:
Tabelle über den Verlauf der Erzeugung
Summe für die Ermittlung des Lambda-Wertes
Formel für den Eta-Wert
λ
(
4
)
=
η
(
2
)
λ
(
2
)
=
π
2
12
π
2
8
=
π
4
96
{\displaystyle \lambda (4)=\eta (2)\lambda (2)={\frac {\pi ^{2}}{12}}\,{\frac {\pi ^{2}}{8}}={\frac {\pi ^{4}}{96}}}
η
(
4
)
=
14
15
λ
(
4
)
=
7
π
4
720
{\displaystyle \eta (4)={\frac {14}{15}}\,\lambda (4)={\frac {7\pi ^{4}}{720}}}
λ
(
6
)
=
1
2
[
η
(
2
)
λ
(
4
)
+
η
(
4
)
λ
(
2
)
]
=
1
2
(
π
2
12
π
4
96
+
7
π
4
720
π
2
8
)
=
π
6
960
{\displaystyle \lambda (6)={\frac {1}{2}}{\bigl [}\eta (2)\lambda (4)+\eta (4)\lambda (2){\bigr ]}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\pi ^{2}}{12}}\,{\frac {\pi ^{4}}{96}}+{\frac {7\pi ^{4}}{720}}{\frac {\pi ^{2}}{8}}\right)={\frac {\pi ^{6}}{960}}}
η
(
6
)
=
62
63
λ
(
6
)
=
31
π
6
30240
{\displaystyle \eta (6)={\frac {62}{63}}\,\lambda (6)={\frac {31\pi ^{6}}{30240}}}
λ
(
8
)
=
1
3
[
η
(
2
)
λ
(
6
)
+
η
(
4
)
λ
(
4
)
+
η
(
6
)
λ
(
2
)
]
=
1
3
(
π
2
12
π
6
960
+
7
π
4
720
π
4
96
+
31
π
6
30240
π
2
8
)
=
17
π
8
161280
{\displaystyle \lambda (8)={\frac {1}{3}}{\bigl [}\eta (2)\lambda (6)+\eta (4)\lambda (4)+\eta (6)\lambda (2){\bigr ]}={\frac {1}{3}}\left({\frac {\pi ^{2}}{12}}\,{\frac {\pi ^{6}}{960}}+{\frac {7\pi ^{4}}{720}}{\frac {\pi ^{4}}{96}}+{\frac {31\pi ^{6}}{30240}}{\frac {\pi ^{2}}{8}}\right)={\frac {17\pi ^{8}}{161280}}}
η
(
8
)
=
254
255
λ
(
8
)
=
127
π
8
1209600
{\displaystyle \eta (8)={\frac {254}{255}}\,\lambda (8)={\frac {127\pi ^{8}}{1209600}}}
Nach dem gezeigten Zick-Zack-Muster werden die Werte von Dirichletscher Etafunktion und Dirichletscher Lambdafunktion bei geraden Zahlen effizient erzeugt.
Reihen mit den Dirichletschen Funktionen
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Folgende Summe mit der Dirichletschen Etafunktion ergibt folgenden Wert:
∑
n
=
1
∞
[
η
(
2
n
)
2
n
−
η
(
2
n
+
1
)
2
n
+
1
]
=
ln
(
4
π
)
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {\eta (2n)}{2n}}-{\frac {\eta (2n+1)}{2n+1}}{\biggr ]}=\ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)}
Die analoge Formel mit der Riemannschen Zetafunktion bringt die Euler-Mascheroni-Konstante hervor:
∑
n
=
1
∞
[
ζ
(
2
n
)
2
n
−
ζ
(
2
n
+
1
)
2
n
+
1
]
=
γ
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {\zeta (2n)}{2n}}-{\frac {\zeta (2n+1)}{2n+1}}{\biggr ]}=\gamma }
Und mit der Dirichletschen Lambdafunktion entsteht folglich dieser Wert:
∑
n
=
1
∞
[
λ
(
2
n
)
2
n
−
λ
(
2
n
+
1
)
2
n
+
1
]
=
1
2
γ
+
1
2
ln
(
4
π
)
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {\lambda (2n)}{2n}}-{\frac {\lambda (2n+1)}{2n+1}}{\biggr ]}={\frac {1}{2}}\,\gamma +{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)}
Dieses Resultat geht direkt durch arithmetische Mittelung hervor.
Eric W. Weisstein : Dirichlet Eta Function . In: MathWorld (englisch).
Milton Abramowitz , Irene Stegun : Handbook of Mathematical Functions , New York: Dover, 1972.
Niels Henrik Abel : Solution de quelques problèmes à l’aide d’intégrales définies . Magazin for Naturvidenskaberne, Argang I, Bind2, Christina, 1823
Jonathan M. Borwein, David M. Bradley, Richard E. Crandall: Computational strategies for the Riemann zeta function . Journal of Computational and Applied Mathematics 121 (2000) 247–296, (PDF), S. 253.
Konrad Knopp : Theory and Application of Infinite Series . Dover, 1990, ISBN 0-486-66165-2 (englisch, [1922]).
↑ Jonathan M. Borwein, David M. Bradley, Richard E. Crandall: Computational strategies for the Riemann zeta function. Journal of Computational and Applied Mathematics 121 (2000) 247–296, (PDF) , S. 253.
↑ André Voros : More Zeta Functions for the Riemann Zeros. (PDF; 182 kB) In: ipht.cea.fr. CEA , Institut de Physique Théorique (CNRS URA 2306), S. 6 , abgerufen am 23. Mai 2024 (englisch).
↑ Eric W. Weisstein : Dirichlet Eta Function . In: MathWorld (englisch).
↑ Eric W. Weisstein : Dirichlet Lambda Function . In: MathWorld (englisch).
↑ J. Spanier, K. B. Oldham: The Zeta Numbers and Related Functions. In: An Atlas of Functions . Washington, DC: Hemisphere, S. 25–33, 1987.