Dirichletsche Etafunktion

mathematische Funktion

In der analytischen Zahlentheorie ist die Dirichletsche η-Funktion eine spezielle Funktion, die nach dem deutschen Mathematiker Dirichlet (1805–1859) benannt ist. Sie ist verwandt mit der Riemannschen -Funktion.

Die Dirichletsche -Funktion in der komplexen Zahlenebene.

Sie wird mit dem kleinen griechischen Buchstaben eta () notiert; die Dedekindsche η-Funktion, eine Modulform, wird ebenfalls so bezeichnet.

Definition

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Die Dirichletsche  -Funktion ist für alle komplexen   mit Realteil größer als 0 definiert über die Dirichletreihe:

 

Obwohl die Gültigkeit dieses Ausdrucks auf komplexe Zahlen mit positivem Realteil beschränkt ist, bildet er die Ausgangsbasis für alle Darstellungen der  -Funktion. Sie kann auf die ganze komplexe Zahlenebene analytisch fortgesetzt werden, was eine Berechnung der  -Funktion für alle beliebigen   gewährleistet.

Euler-Produkt

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Ihre zahlentheoretische Bedeutung erhält die  -Funktion durch ihre Verbindung zu den Primzahlen, die sich für   formelhaft durch das Euler-Produkt

 

ausdrücken lässt.

Funktionalgleichung

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In ganz   gilt die Identität:

 

Verbindung zur Riemannschen ζ-Funktion

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Die Funktionalgleichung zwischen Dirichletscher   und Riemannscher  -Funktion lässt sich aus den Dirichletreihendarstellungen beider Funktionen gewinnen. Der  -Ausdruck wird durch Addition weiterer Dirichletreihen transformiert zu:

 

Daraus folgt der Zusammenhang:

 

der in ganz   Gültigkeit behält.

Weitere Darstellungen

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Integraldarstellung

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Eine Integraldarstellung für alle   enthält die Gammafunktion   und lautet:

 .

Dies kann als Mellin-Transformation[1] von   verstanden werden. Gültig für alle   sind diese beiden Formeln:

 
 

Beide Formeln wurden durch den Mathematiker Niels Henrik Abel entdeckt und in seinem Werk Solution de quelques problèmes à l’aide d’intégrales définies ausführlich behandelt. Diese beiden Formeln stellen zwei Spezialfälle der generellen Abel-Plana-Summenformel dar. Die erste Formel resultiert direkt aus der von den Mathematikern Borwein, Bradley und Crandall behandelten Formel für die Riemannsche Zetafunktion, welche sie in ihrem Werk Computational strategies for the Riemann zeta function untersuchten. Die zweite Formel entsteht durch Mellin-Transformation der alternierenden Differenzdarstellung für die Dirichletsche Etafunktion nach dem Muster der Abel-Plana-Formel. Mit dem Sekans Hyperbolicus kann diese Darstellung hervorgerufen werden:

 

Außerdem gilt dieses Doppelintegral über die Potenzen des natürlichen Logarithmus:

 

Reihendarstellung

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Eine in ganz   konvergente Reihe ergibt sich mit Hilfe der eulerschen Reihentransformation:

 

Produktdarstellung

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Für alle   konvergiert das Hadamard-Produkt[2], benannt nach seinem Entdecker Jacques Hadamard:

 

Es erstreckt sich über alle nicht-trivialen Nullstellen   der  -Funktion und leitet sich einfach aus dem Hadamard-Produkt der Zeta-Funktion ab.

Etafunktionswerte von negativen ganzen Zahlen

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Es gilt:

 
 

Für natürliche   gilt mit den Bernoulli-Zahlen  

 

Basler Problem

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Der Wert η(2) ergibt π²/12 und steht mit dem Basler Problem im Zusammenhang.

Mit dem Satz von Fubini kann dieser Wert bewiesen werden:

 
 
 

Etafunktion und Bernoulli-Zahlen

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Für gerade Argumente   gilt die allgemeine Formel:

 

Somit lässt sich der Zahlenwert von   stets in der Form

 

schreiben, wobei   und   zwei positive ganze Zahlen bezeichnen.

2n pn qn  
2 1 12 0,82246703342411321823…
4 7 720 0,94703282949724591757…
6 31 30240 0,98555109129743510409…
8 127 1209600 0,99623300185264789922…
10 73 6842880 0,99903950759827156563…
12 1414477 1307674368000 0,99975768514385819085…
14 8191 74724249600 0,99993917034597971817…
16 16931177 1524374691840000 0,99998476421490610644…
18 5749691557 5109094217170944000 0,99999618786961011347…
20 91546277357 802857662698291200000 0,99999904661158152211…

Die ersten Werte für ungerade Argumente sind

  (die alternierende harmonische Reihe)
 
 

Nullstellen

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Aus der Relation

 

ist leicht zu folgern, dass   sowohl für alle   bei  , als auch zusätzlich an denselben Stellen wie   verschwindet. Dazu gehören sowohl die sogenannten „trivialen“ Nullstellen bei  , also

 

als auch die „nicht-trivialen“ Nullstellen im Streifen  .

Die berühmte und bis heute unbewiesene Riemannsche Vermutung besagt, dass alle nicht-trivialen Nullstellen den Realteil 1/2 besitzen.

Ableitung

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Ableitungsidentität mit der Zeta-Ableitung

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Die Ableitung der  -Funktion kann für   wieder als Dirichletreihe dargestellt werden:

 

Ein geschlossener Ausdruck für alle komplexen Zahlen   kann über die Ableitung der Riemannschen Zetafunktion ausgedrückt werden:

 

Diese Formel kann unter Anwendung der Produktregel gewonnen werden.

Ableitungsidentitäten mit der Abel-Plana-Formel

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Eine zu dieser Formel äquivalente und somit ebenso geschlossen für alle komplexen Zahlen   gültige Formel kann erneut mit der Mellin-Transformation beziehungsweise als Derivat der Abel-Plana-Summenformel hervorgebracht werden:

 
 

Diese Formeln entstehen nach dem Muster, welches von Niels Henrik Abel in seinem genannten Werk beschrieben wurde. Analog hierzu kann auch mit der Abel-Plana-Formel aus dem Werk von Borwein, Bradley und Crandall dieses Verfahren durchgeführt werden, welche die Dirichletsche Etafunktion als das Produkt der Riemannschen Zetafunktion mit einer Potenzfunktion zur Basis Zwei darstellt. Bei dieser Ableitung werden somit Zweierpotenzfunktionen abgeleitet und somit wird der Natürliche Logarithmus von Zwei als Vorfaktor bei den Summanden hervorgebracht:

 
 
 

Rechenbeispiele für die Ableitung

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Rechenbeispiel[3] für s = 0:

 

Alternativ hierzu kann dieses Verfahren mit der Formel nach Borwein, Bradley und Crandall angewendet werden:

 

Rechenbeispiel für  :

 

Alternativ hierzu kann dieses Verfahren angewendet werden:

 
 
 
 

Denn in Bezug auf die Euler-Mascheroni-Konstante gilt diese Identität:

 

Die Integralformel bei dem Ausdruck für   nach dem Muster von Borwein, Bradley und Crandall kann mit Hilfe der Definition des Logarithmus Naturalis aus der Gammafunktion nach den britischen Mathematikern Edmund Taylor Whittaker und George Neville Watson hergeleitet werden:

 

Ableitungsidentität mit der Digammafunktion

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Eine weitere Formel für   kann mit Hilfe der Digammafunktion hergeleitet werden.

Es gilt folgende Ableitung für die Gammafunktion:

 

Und es gilt dann:

 
 

Stammfunktion

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Die Ursprungsstammfunktion der Dirichletschen Etafunktion hat diese Identität:

 
 

Durch Integration der genannten Abel-Plana-Formel kann dieser Ausdruck hervorgebracht werden. Denn folgende Integralformel ist grundsätzlich gültig:

 

Durch Einsatz von   und   erhält man direkt die zuvor gezeigte Formel.

Mit der genannten Stammfunktionsformel für die Dirichletsche Etafunktion gilt zum Beispiel:

 
 

Dirichletsche und Riemannsche Funktionen

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Verwandtschaften der Funktionen

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Die Verwandtschaften von   zu der Dirichletschen  -Funktion[4] und der Riemannschen  -Funktion werden durch folgende Formel zum Ausdruck gebracht:[5]

 

Deswegen gilt auch:

 

Die Dirichletsche eta-Funktion ist ein Spezialfall des Polylogarithmus, denn es gilt:

 

Damit ist sie auch ein Spezialfall der Lerchschen Zeta-Funktion:

 

Erzeugungsalgorithmus

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Zur Ermittlung der Dirichletschen Etafunktionswerte und Lambdafunktionswerte von geraden Zahlen dienen auch folgende zwei Formeln:

 
 

Auf diese Weise können kaskadenartig die Dirichletschen Etafunktionswerte hervorgebracht werden:

Tabelle über den Verlauf der Erzeugung
Summe für die Ermittlung des Lambda-Wertes Formel für den Eta-Wert
   
   
   

Nach dem gezeigten Zick-Zack-Muster werden die Werte von Dirichletscher Etafunktion und Dirichletscher Lambdafunktion bei geraden Zahlen effizient erzeugt.

Reihen mit den Dirichletschen Funktionen

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Folgende Summe mit der Dirichletschen Etafunktion ergibt folgenden Wert:

 

Die analoge Formel mit der Riemannschen Zetafunktion bringt die Euler-Mascheroni-Konstante hervor:

 

Und mit der Dirichletschen Lambdafunktion entsteht folglich dieser Wert:

 

Dieses Resultat geht direkt durch arithmetische Mittelung hervor.

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Jonathan M. Borwein, David M. Bradley, Richard E. Crandall: Computational strategies for the Riemann zeta function. Journal of Computational and Applied Mathematics 121 (2000) 247–296, (PDF), S. 253.
  2. André Voros: More Zeta Functions for the Riemann Zeros. (PDF; 182 kB) In: ipht.cea.fr. CEA, Institut de Physique Théorique (CNRS URA 2306), S. 6, abgerufen am 23. Mai 2024 (englisch).
  3. Eric W. Weisstein: Dirichlet Eta Function. In: MathWorld (englisch).
  4. Eric W. Weisstein: Dirichlet Lambda Function. In: MathWorld (englisch).
  5. J. Spanier, K. B. Oldham: The Zeta Numbers and Related Functions. In: An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, S. 25–33, 1987.