Lerchsche Zeta-Funktion

mathematische Funktion

Die Lerchsche Zeta-Funktion (nach Mathias Lerch) ist eine sehr allgemeine Zeta-Funktion. Sehr viele Reihen reziproker Potenzen (einschließlich der hurwitzschen Zeta-Funktion und des Polylogarithmus) können als Spezialfall dieser Funktion dargestellt werden.

Definition

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Die komplexe Lerchsche Zetafunktion hat diese Definition:

 

Und die sogenannte Lerchsche Transzendente ist so definiert:

 

Beide Funktionen werden als Lerchsche Zeta-Funktionen bezeichnet.

Die Verwandtschaft der beiden ist durch folgende Formel gegeben:

 

Spezialfälle und spezielle Werte

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Außerdem gelten folgende Spezialfälle (Auswahl):[1]

 
 
 
 
 
 
 
 

Ferner ist

 

mit der catalanschen Konstanten  , der Glaisher-Kinkelin-Konstanten   und der Apéry-Konstanten   der Riemannschen Zeta-Funktion.

Weitere Formeln

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Integraldarstellungen

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Eine mögliche Integraldarstellung lautet

  für  

Das Kurvenintegral

 

mit   darf die Punkte   nicht enthalten.

Ferner ist

 

für   und  .

Ebenso ist

 

für  .

Reihendarstellungen

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Eine Reihendarstellung für die Lerchsche Zeta-Funktion ist

 

Sie gilt für alle   und komplexe   mit  ; man vergleiche dazu die Reihendarstellung der hurwitzschen Zeta-Funktion.

Falls   positiv und ganz ist, gilt

 

Eine Taylorreihe der dritten Variablen ist durch

 

für   unter Verwendung des Pochhammer-Symbol   gegeben.

Im Grenzwert   gilt

 .

Der Spezialfall   hat folgende Reihe:

 

für  .

Die asymptotische Entwicklung für   ist gegeben durch

 

für   und

 

wenn  .

Unter Verwendung der unvollständigen Gammafunktion gilt

 

mit   und  .

Identitäten und weitere Formeln

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Ferner gilt für die Integraldarstellung mit   oder  [2]

 

und

 .

Literatur

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  • Mathias Lerch: Démonstration élémentaire de la formule:  , L'Enseignement Mathématique 5(1903): S. 450–453
  • M. Jackson: On Lerch's transcendent and the basic bilateral hypergeometric series  , J. London Math. Soc. 25 (3), 1950: S. 189–196
  • Jesús Guillera, Jonathan Sondow: Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent. In: Ramanujan J. Band 16, Nummer 3, 2008, Seiten 247–270; vgl. in arxiv
  • Antanas Laurinčikas und Ramūnas Garunkštis: The Lerch zeta-function, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002, ISBN 978-1-4020-1014-9 online
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Einzelnachweise

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  1. http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/LerchPhi/03/ShowAll.html
  2. Guillera, Sondow 2008, Theorem 3.1 (siehe Lit.)