Legendresche Chi-Funktion

mathematische Funktion

Die legendresche Chi-Funktion (nach Adrien-Marie Legendre) ist eine spezielle Funktion in der Mathematik.

Definition

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Die legendresche Chi-Funktion ist folgendermaßen definiert:

 

Sie lässt sich auch mit dem Polylogarithmus   ausdrücken:

 
 

Funktion für v = 2:

 

Folgende Darstellungen als Integrale hat diese Funktion:

 
 

Folgende Ableitung hat diese Funktion:

 

Spezielle Werte

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Beweis für den Chi-2-Funktionswert von Eins

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Es gilt folgende Ableitung:

 

Deswegen gilt auch folgendes Integral:

 

Durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich x entsteht diese bereits im Definitionsabschnitt genannte Formel:

 

Exemplarisch eingesetzt wird der Wert   in die nun genannte Formel, so dass die folgende Formel entsteht:

 

Theorem für tangentielle Gegenstücke

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Folgende Formel dient für die Werte 0 < x < 1 zur Ermittlung der Chi-Funktionswerte:

 

Beispielsweise gilt:

 

Mit Hilfe genannten allgemeinen Formel für tangentielle Gegenstücke und mit Hilfe des Dilogarithmus können folgende Funktionswerte ermittelt werden:

 

mit der imaginären Einheit  , der Goldenen Zahl   und der catalanschen Konstanten  .

Spezialfälle und Verallgemeinerungen

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Zu den Spezialfällen gehören die Dirichletsche Lambda-Funktion  

 

und die dirichletsche Beta-Funktion  :

 

Die transzendente lerchsche Zeta-Funktion verallgemeinert die legendresche Chi-Funktion:

 

Siehe auch

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Referenzen

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