Hurwitzsche Zeta-Funktion

mathematische Funktion

Die Hurwitzsche Zeta-Funktion (nach Adolf Hurwitz) ist eine der vielen bekannten Zeta-Funktionen, die in der analytischen Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine wichtige Rolle spielt.

Die formale Definition für komplexe lautet

Die Reihe konvergiert absolut und kann zu einer meromorphen Funktion erweitert werden für alle

Die Riemannsche Zeta-Funktion ist dann

Analytische Fortsetzung

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Die Hurwitzsche Zeta-Funktion kann zu einer meromorphen Funktion fortgesetzt werden, sodass sie für alle komplexen   definiert ist. Bei   liegt ein einfacher Pol mit Residuum 1 vor.

Es gilt dann

 

unter Verwendung der Gammafunktion   und der Digammafunktion  .

Reihendarstellungen

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Helmut Hasse fand 1930[1] die Reihendarstellung

 

für   und  .

Laurent-Entwicklung

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Die Laurent-Entwicklung um   lautet:

 

mit  .   sind die Verallgemeinerten Stieltjes-Konstanten:

 

für  

Fourier-Reihe

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Die Fourier-Reihe lautet:

 

mit  .[2]

Integraldarstellung

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Die Integraldarstellung lautet

 

wobei   und  

Hurwitz-Formel

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Die Formel von Hurwitz ist eine Darstellung der Funktion für   und   Sie lautet:[3]

 

wobei

 

Dabei bezeichnet   den Polylogarithmus.

Funktionalgleichung

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Für alle   und   gilt

 

Nullstellen

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Da sich für   und   die Riemannsche Zeta-Funktion bzw. diese multipliziert mit einer einfachen Funktion von   ergibt, führt dies zu der komplizierten Nullstellenberechnung der Riemannschen Zeta-Funktion mit der Riemannschen Vermutung.

Für diese   hat die Hurwitzsche Zeta-Funktion keine Nullstellen mit einem Realteil größergleich 1.

Für   und   gibt es dagegen Nullstellen für jeden Steifen   mit einem positiv-reellen  . Dies wurde für rationale und nicht-algebraische-irrationale   von Davenport und Heilbronn[4] bewiesen; für algebraische irrationale   von Cassels.[5]

Rationale Argumente

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Die Hurwitzsche Zeta-Funktion tritt etwa im Zusammenhang mit den Euler-Polynomen   auf:[6]

 

und

 

Ferner gilt

 

mit  . Dabei werden   und   wie folgt mit der legendreschen Chi-Funktion   definiert:

 

bzw.

 

Es gilt (Auswahl):[7]

 
 
 
 
 
 
 

(Riemannsche Zeta-Funktion, Catalansche Konstante)

Ableitungen

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Es gilt

 

mit   sowie   und  [8].

Die Ableitungen nach   ergeben sich zu

 

für   und  [9] unter Verwendung des Pochhammer-Symbol  .

Beziehungen zu anderen Funktionen

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Bernoulli-Polynome

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Die im Abschnitt Hurwitz-Formel definierte Funktion   verallgemeinert die Bernoulli-Polynome  :

 

Alternativ kann man sagen, dass

 

Für   ergibt das

 

Jacobische Thetafunktion

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Gegeben ist am Anfang des Artikels diese Formel:

 

Die Abel-Plana-Summenformel definiert die Hurwitzsche Zetafunktion sowohl für positive als auch für negative Werte  :

 

Für alle positiven Werte   stimmen die beiden Formeln für die Hurwitzsche Zetafunktion miteinander überein.

Die Mathematiker Edmund Taylor Whittaker und George Neville Watson definierten die Jacobische Thetafunktion[10][11][12] auf diese Weise:

 

Basierend auf der nun genannten Abel-Plana-Definition für die Hurwitzsche Zetafunktion kann dann diese Identität für folgendes Integral der Jacobischen Thetafunktion aufgestellt werden:

 

In dieser Formel wird neben der Hurwitzschen auch die Riemannsche Zetafunktion   eingesetzt.

Für alle Zahlenpaare a und n mit den Kriterien   und   ist diese Formel gültig.

Beispielsweise gilt mit   und  :

 
 

Polygammafunktion

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Die Hurwitzsche Zeta-Funktion verallgemeinert die Polygammafunktion auf nicht-ganze Ordnungen  :

 

mit der Euler-Mascheroni-Konstanten  .[13]

Auftreten

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Die Hurwitzschen Zeta-Funktionen finden an verschiedenen Stellen Anwendung, nicht nur in der Zahlentheorie. Sie tritt bei Fraktalen und dynamischen Systemen ebenso wie im zipfschen Gesetz auf.

In der Teilchenphysik kommt sie in einer Formel von Julian Schwinger[14] vor, die ein genaues Resultat für die Paarbildungs-Rate von in der Dirac-Gleichung beschriebenen Elektronen in Feldern gibt.

Spezialfälle und Verallgemeinerungen

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Eine Verallgemeinerung der Hurwitzschen Zeta-Funktion bietet

 ,

so dass

 

Diese Funktion wird als Lerchsche Zeta-Funktion bezeichnet.

Die Hurwitzsche Zeta-Funktion lässt sich durch die verallgemeinerte hypergeometrische Funktion ausdrücken:[15]

 

mit  

Außerdem gilt mit der Meijerschen G-Funktion:[16]

 

mit  .

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Einzelnachweise

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  1. Helmut Hasse: Ein Summierungsverfahren fur die Riemannsche ζ-Reihe In: Mathematische Zeitschrift. Band 32, 1930, S. 458–464.
  2. http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/06/03/01/01/0001/
  3. Eric W. Weisstein: Hurwitz's Formula. In: MathWorld (englisch).
  4. H. Davenport und H. Heilbronn: On the zeros of certain Dirichlet series. In: Journal of the London Mathematical Society. Band 11, 1936, S. 181–185
  5. J. W. S. Cassels: Footnote to a note of Davenport and Heilbronn. In: Journal of the London Mathematical Society. Band 36, 1961, S. 177–184
  6. Djurdje Cvijović und Jacek Klinowski: Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments. In: Mathematics of Computation. Band 68, 1999, S. 1623–1630.
  7. http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/03/ShowAll.html
  8. http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/20/02/01/01/0001/
  9. http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/20/02/02/01/0001/
  10. Eric W. Weisstein: Jacobi Theta Functions. In: MathWorld (englisch).
  11. http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf
  12. DLMF: 20.5 Infinite Products and Related Results. Abgerufen am 13. August 2022.
  13. Oliver Espinosa and Victor H. Moll: A Generalized Polygamma Function auf arXiv.org e-Print archive 2003.
  14. J. Schwinger: On gauge invariance and vacuum polarization. In: Physical Review. Band 82, 1951, S. 664–679.
  15. http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/26/01/02/01/
  16. http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/26/02/01/01/