Die Stieltjes-Konstanten
γ
n
{\displaystyle \gamma _{n}}
Grenzwert
γ
n
:=
lim
N
→
∞
(
∑
k
=
1
N
(
log
k
)
n
k
−
(
log
N
)
n
+
1
n
+
1
)
,
n
=
0
,
1
,
2
,
…
{\displaystyle \gamma _{n}:=\lim _{N\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{N}{\frac {(\log k)^{n}}{k}}-{\frac {(\log N)^{n+1}}{n+1}}\right),\quad n=0,1,2,\dotsc }
definiert sind, wobei
γ
0
{\displaystyle \gamma _{0}}
Eulersche Konstante
γ
{\displaystyle \gamma }
γ
n
{\displaystyle \gamma _{n}}
verallgemeinerte Eulersche Konstanten bezeichnet.
Sie treten in der Laurent-Entwicklung der Riemannschen Zetafunktion
ζ
(
s
)
=
1
s
−
1
+
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
γ
n
n
!
(
s
−
1
)
n
{\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\gamma _{n}}{n!}}(s-1)^{n}}
und bei der Auswertung gewisser bestimmter Integrale auf:
∫
0
∞
(
log
x
)
2
e
x
+
1
d
x
=
(
log
2
)
(
1
3
(
log
2
)
2
+
ζ
(
2
)
−
γ
2
−
2
γ
1
)
=
1,121
192486
…
{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {(\log x)^{2}}{e^{x}+1}}\,\mathrm {d} x=(\log 2)\,{\big (}{\frac {1}{3}}(\log 2)^{2}+\zeta (2)-\gamma ^{2}-2\gamma _{1}{\big )}=1{,}121192486\dots }
Sie hängen eng mit den Zahlen
τ
n
:=
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
+
1
(
log
k
)
n
k
,
n
=
0
,
1
,
2
,
…
{\displaystyle \tau _{n}:=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {(\log k)^{n}}{k}},\quad n=0,1,2,\dotsc }
zusammen. Diese lassen sich numerisch gut über eine Konvergenzbeschleunigung (fortgesetzte Mittelung) berechnen. Es gilt die Rekursion
τ
0
=
log
2
{\displaystyle \tau _{0}=\log 2}
τ
n
=
(
log
2
)
n
+
1
n
+
1
−
∑
k
=
0
n
−
1
(
n
k
)
(
log
2
)
n
−
k
⋅
γ
k
,
n
=
1
,
2
,
…
{\displaystyle \tau _{n}={\frac {(\log 2)^{n+1}}{n+1}}-\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n}{k}}(\log 2)^{n-k}\cdot \gamma _{k},\qquad n=1,2,\dotsc }
und die explizite Darstellung mit Hilfe der Bernoullischen Zahlen :
γ
n
=
−
1
n
+
1
∑
k
=
0
n
+
1
(
n
+
1
k
)
B
n
+
1
−
k
(
log
2
)
n
−
k
⋅
τ
k
,
n
=
0
,
1
,
2
,
…
{\displaystyle \gamma _{n}=-{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}B_{n+1-k}(\log 2)^{n-k}\cdot \tau _{k},\quad n=0,1,2,\dotsc }
Aus der Rekursion ergibt sich für
n
=
1
{\displaystyle n=1}
τ
1
=
1
2
(
log
2
)
2
−
γ
log
2
{\displaystyle \tau _{1}={\tfrac {1}{2}}(\log 2)^{2}-\gamma \log 2}
γ
=
1
2
log
2
+
1
log
2
∑
k
=
2
∞
(
−
1
)
k
log
k
k
=
1
2
log
2
+
∑
k
=
2
∞
(
−
1
)
k
log
2
k
k
,
{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{2}}\log 2+{\frac {1}{\log 2}}\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\log k}{k}}={\frac {1}{2}}\log 2+\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\log _{2}k}{k}},}
die der Reihe von Vacca sehr ähnlich ist.
Die Folge
γ
n
{\displaystyle \gamma _{n}}
lim sup
n
→
∞
ln
|
γ
n
|
n
=
ln
ln
n
{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\ln |\gamma _{n}|}{n}}=\ln \ln n}
n Dezimalentwicklung von γn
OEIS
0 0− 0,577215664901532860606512090082 …A001620
0 1−0,0728158454836767248605863758749 …
A082633
0 2−0,00969036319287231848453038603521 …
A086279
0 3− 0,00205383442030334586616004654275 …A086280
0 4− 0,00232537006546730005746817017752 …A086281
0 5− 0,000793323817301062701753334877444 …A086282
0 6−0,000238769345430199609872421841908 …
A183141
0 7−0,000527289567057751046074097505478 …
A183167
0 8−0,000352123353803039509602052165001 …
A183206
0 9−0,000034394774418088048177914623798 …
A184853
10
− 0,000205332814909064794683722289237 …A184854
Für die Hurwitzsche Zetafunktion ist von Bedeutung:
γ
n
(
a
)
:=
lim
N
→
∞
(
∑
k
=
1
N
log
(
k
+
a
)
n
k
+
a
−
log
(
N
+
a
)
n
+
1
n
+
1
)
,
n
=
0
,
1
,
2
,
…
{\displaystyle \gamma _{n}(a):=\lim _{N\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{N}{\frac {\log(k+a)^{n}}{k+a}}-{\frac {\log(N+a)^{n+1}}{n+1}}\right),\quad n=0,1,2,\dotsc }
Rick Kreminski: Newton-Cotes integration for approximating Stieltjes (generalized Euler) constants.Mathematics of Computation. V. 72, No. 243, 2003, S. 1379–1397.
Charles Knessl, Mark W, Coffey: An effective asymptotic formula for the Stieltjes Constants. In: Mathematics of Computation. V. 80, No. 273, 2010, S. 379–386. 
