Der Skorochodsche Einbettungssatz (auch in den Schreibungen Skorokhod oder Skorohod zu finden) ist ein mathematischer Satz aus der Theorie der stochastischen Prozesse, einem Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie. Er ist nach Anatoli Skorochod benannt. Anschaulich besagt er, dass jede Zufallsvariable sich (unter gewissen Umständen) in die mathematische Modellierung der brownschen Molekularbewegung, den Wiener-Prozess, einbetten lässt.

Gegeben sei ein Wiener-Prozess   und   die entsprechende erzeugte Filtrierung.

Sei   eine reellwertige Zufallsvariable mit   und  

Dann existiert eine Stoppzeit   bezüglich  , so dass

 

ist und   dieselbe Verteilung hat wie  .

Beispiele

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  • Sei   Dirac-verteilt zum Punkt  , dann ist   und  . Wähle  , so ist   und  .
  • Sei   zweipunktverteilt auf   mit   und   bzw.  . Dann ist   und  . Wähle dann die Ersteintrittszeit  , so gilt   und  .

Eine Konstruktion der gesuchten Stoppzeit für eine beliebige reellwertige Zufallsvariable   mit den obigen Eigenschaften lässt sich über eine Mischung von Zweipunktmaßen erreichen.[1]

Anwendung

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Mit dem Einbettungssatz lässt sich das Gesetz des iterierten Logarithmus in der allgemeinen Form leichter herleiten. Dafür zeigt man zuerst das Gesetz des iterierten Logarithmus für den Wiener-Prozess und weitet dann dieses Ergebnis mittels des Einbettungssatzes auf den allgemeinen Fall aus.

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Ludger Rüschendorf: Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer, Berlin / Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-48937-6, S. 437 ff.