Das Smash-Produkt bezeichnet eine topologische Konstruktion. Es ist vor allem in der Homotopietheorie wichtig.

Definition

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Für zwei gegebene punktierte topologische Räume   und   mit Basispunkten   und   betrachtet man zunächst den Produktraum   mit der Identifizierung   für alle   und alle  . Der Quotient von   unter dieser Identifizierung heißt das Smash-Produkt von   und   und wird mit   bezeichnet. Es hängt in der Regel von den gewählten Basispunkten ab.

Wenn man den Raum   mit   und   mit   identifiziert, so schneiden sich   und   in   und das Wedge-Produkt   (also ihre disjunkte Vereinigung) liefert den Unterraum   von  . Das Smash-Produkt ist dann der Quotient

 .[1]

Beispiele

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  • Das Smash-Produkt von zwei Sphären   und   ist homöomorph zur Sphäre  . Das Smash-Produkt von zwei Kreisen ist demnach eine 2-Sphäre, die sich als Quotient aus einem Torus ergibt.[1]
  • Mit dem Smash-Produkt kann man die sogenannte reduzierte Einhängung erhalten als:
 .[2]

Eigenschaften

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Das Smash-Produkt ist vor allem in der Homotopietheorie wichtig, in der es die Homotopie-Kategorie zu einer symmetrischen monoidalen Kategorie macht, mit der 0-Sphäre (bestehend aus zwei Punkten) als neutralem Element.[3] Das Smash-Produkt ist kommutativ bis auf Homöomorphie und assioziativ bis auf Homotopie, das heißt   und   sind zwar nicht unbedingt homöomorph, aber homotopieäquivalent.

In der Kategorie der punktierten topologischen Räume besitzt das Smash-Produkt folgende Eigenschaft, die analog zum Tensorprodukt von Moduln ist. Für   lokalkompakt gilt die Adjunktionsformel

 

wobei   den Raum der Basispunkt-erhaltenden stetigen Abbildungen versehen mit der kompakt-offenen Topologie bezeichnet. Wenn man für   den Einheitskreis   nimmt, so ergibt sich als Spezialfall, dass die reduzierte Einhängung   links adjungiert zum Schleifenraum   ist.

Einzelnachweise

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  1. a b Allen Hatcher: Algebraic Topology. University Press, Cambridge 2000, ISBN 0-521-79540-0, S. 10 (Online).
  2. Allen Hatcher: Algebraic Topology. University Press, Cambridge 2000, ISBN 0-521-79540-0, S. 12 (Online).
  3. smash product in nLab. Abgerufen am 14. Mai 2023.