Smash-Produkt

Das Smash-Produkt bezeichnet eine topologische Konstruktion. Es ist vor allem in der Homotopietheorie wichtig.

Definition

Für zwei gegebene punktierte topologische Räume $(X,x_{0})$ und $(Y,y_{0})$ mit Basispunkten $x_{0}$ und $y_{0}$ betrachtet man zunächst den Produktraum $X\times Y$ mit der Identifizierung $(x,y_{0})\sim (x_{0},y)$ für alle $x\in X$ und alle $y\in Y$. Der Quotient von $X\times Y$ unter dieser Identifizierung heißt das Smash-Produkt von $(X,x_{0})$ und $(Y,y_{0})$ und wird mit $X\wedge Y$ bezeichnet. Es hängt in der Regel von den gewählten Basispunkten ab.

Wenn man den Raum $X$ mit $X\times \left\{y_{0}\right\}$ und $Y$ mit $\left\{x_{0}\right\}\times Y$ identifiziert, so schneiden sich $X$ und $Y$ in $(x_{0},y_{0})$ und das Wedge-Produkt $\vee$ (also ihre disjunkte Vereinigung) liefert den Unterraum $X\vee Y$ von $X\times Y$. Das Smash-Produkt ist dann der Quotient

$X\wedge Y=X\times Y/X\vee Y$.

Beispiele

• Das Smash-Produkt von zwei Sphären $S^{m}$ und $S^{n}$ ist homöomorph zur Sphäre $S^{m+n}$. Das Smash-Produkt von zwei Kreisen ist demnach eine 2-Sphäre, die sich als Quotient aus einem Torus ergibt.
• Mit dem Smash-Produkt kann man die sogenannte reduzierte Einhängung erhalten als:

$\Sigma X=S^{1}\wedge X$.

Eigenschaften

Das Smash-Produkt ist vor allem in der Homotopietheorie wichtig, in der es die Homotopie-Kategorie zu einer symmetrischen monoidalen Kategorie macht, mit der 0-Sphäre (bestehend aus zwei Punkten) als neutralem Element. Das Smash-Produkt ist kommutativ bis auf Homöomorphie und assioziativ bis auf Homotopie, das heißt $X\wedge (Y\wedge Z)$ und $(X\wedge Y)\wedge Z$ sind zwar nicht unbedingt homöomorph, aber homotopieäquivalent.

In der Kategorie der punktierten topologischen Räume besitzt das Smash-Produkt folgende Eigenschaft, die analog zum Tensorprodukt von Moduln ist. Für $A$ lokalkompakt gilt die Adjunktionsformel

$\mathrm {Top} _{\bullet }(X\wedge A,Y)\cong \mathrm {Top} _{\bullet }(X,\mathrm {Top} _{\bullet }(A,Y))\,,$

wobei $Top_{*}(A,Y)$ den Raum der Basispunkt-erhaltenden stetigen Abbildungen versehen mit der kompakt-offenen Topologie bezeichnet. Wenn man für $A$ den Einheitskreis $S^{1}$ nimmt, so ergibt sich als Spezialfall, dass die reduzierte Einhängung $\Sigma$ links adjungiert zum Schleifenraum $\Omega$ ist.