Soddy-Kreis

Die Soddy-Kreise sind die Lösungen für einen Spezialfall des apollonischen Problems, wobei die drei gegebenen Kreise, deren Mittelpunkte die Ecken eines Dreiecks sind, einander berühren. Sie sind benannt nach Frederick Soddy, der anhand dieser Kreise den Satz von Descartes wiederentdeckte und am 20. Juni 1936 in der Zeitschrift Nature in Form eines Gedichtes mit dem Titel The kiss precise veröffentlichte.

Definition

Gegeben seien ein Dreieck $ABC$ sowie die drei Kreise mit den Mittelpunkten $A$, $B$ bzw. $C$, die jeweils durch die Berührpunkte des Inkreises mit den anliegenden Dreiecksseiten gehen. (Diese drei Kreise berühren einander paarweise.) Die beiden Soddy-Kreise sind nun diejenigen Kreise, welche die genannten drei Kreise berühren. Im Allgemeinen unterscheidet man den inneren und den äußeren Soddy-Kreis.

Eigenschaften

$P_{a}$ ist der isoperimetrische Punkt und $P_{i}$ der Punkt des gleichen Umwegs.

• Nach dem Satz von Descartes gilt für die Krümmung $k$ der beiden Soddy-Kreise:

$k=k_{1}+k_{2}+k_{3}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}+k_{2}k_{3}+k_{3}k_{1}}}.$

Hierbei bezeichnen $k_{1},k_{2},k_{3}$ die Krümmungen (= Kehrwerte der Radien) der Kreise um die Eckpunkte A, B und C.

• Der Mittelpunkt des äußeren Soddy-Kreises ist der isoperimetrische Punkt.
• Der Mittelpunkt des inneren Soddy-Kreises ist der Punkt des gleichen Umwegs.
• Für die Radien der Soddy-Kreise gilt

$r=\left|{\frac {\Delta }{4R+r\pm U}}\right|.$

Dabei bezeichnet $\Delta$ den Flächeninhalt von $ABC$, $r$ den Inkreisradius, $R$ den Umkreisradius und $U$ den Umfang. Das Pluszeichen gilt für den inneren Soddy-Kreis, das Minuszeichen für den äußeren.

• Der Radius des inneren Soddy-Kreises wird mit der Formel von W. K. B. Holz berechnet.
• Die Kreise um die Ecken des Dreiecks werden vom äußeren Soddy-Kreis für $4R+r<U$ einschließend, für $4R+r>U$ ausschließend berührt. Im Grenzfall ($4R+r=U$) ergibt sich ein unendlicher Radius, d. h. aus dem äußeren Soddy-Kreis wird eine gemeinsame Tangente.

Quellen

• N. Dergiades: The Soddy Circles. In: Forum Geometricorum. Band 7, 2007, S. 191–197. (Online-Version)
• Eric W. Weisstein: Soddy Circles. In: MathWorld (englisch).
• Soddy Circles auf cut-the-knot

Weblinks

• Arthur Baragarm, Alex Kontorovich: Efficiently Constructing Tangent Circles – einfache Konstruktion der beiden Soddy-Kreise
• isoperimetric and equal detour points – interaktive Illustration auf Geogebratube
• La figure de Soddy