Punkt des gleichen Umwegs

Der Punkt des gleichen Umwegs ist ein besonderer Punkt in einem Dreieck $ABC$. Dieser Punkt $P$ ist dadurch gekennzeichnet, dass der Umweg von $A$ über $P$ nach $B$ ebenso groß ist wie der Umweg von $A$ über $P$ nach $C$ und der Umweg von $B$ über $P$ nach $C$. Hierbei versteht man unter der Länge des Umwegs die Länge der Strecke, die man zusätzlich zur kürzesten Verbindung zurücklegt und es gilt dementsprechend:

Isoperimetrischer Punkt Q, Inkreismittelpunkt I, Gergonne-Punkt G, Punkt gleichen Umwegs P
gleiche Umwege:
$h_{A}+h_{C}-b=h_{A}+h_{B}-c=h_{B}+h_{C}-a$Harmonische Verwandtschaft:${\frac {|QI|}{|PI|}}={\frac {|QG|}{|PG|}}$

${\begin{aligned}&|AP|+|PC|-|AC|\\=&|AP|+|PB|-|AB|\\=&|BP|+|PC|-|BC|\end{aligned}}$.

Eindeutigkeit

Der Punkt des gleichen Umwegs hat die Kimberling-Nummer X(176). Er ist der einzige Punkt mit der obigen Eigenschaft, wenn für die Winkel $\alpha ,\beta ,\gamma$ des Dreiecks $ABC$ die folgende Ungleichung erfüllt ist:

$\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\tan \left({\frac {\beta }{2}}\right)+\tan \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\leq 2$.

Ist die Ungleichung nicht erfüllt, so besitzt auch der isoperimetrische Punkt die Eigenschaft des gleichen Umwegs.

Eigenschaften

• Der Punkt des gleichen Umwegs ist harmonisch verwandt mit dem isoperimetrischen Punkt, dem Mittelpunkt des Inkreises und dem Gergonne-Punkt und kollinear zu diesen drei Punkten.
• Die Umwege sind gleich dem Durchmesser des inneren Soddy-Kreises.
• Die baryzentrischen Koordinaten sind:

$\left(a+{\frac {\Delta }{s-a}}:b+{\frac {\Delta }{s-b}}:c+{\frac {\Delta }{s-c}}\right)$.

Hierbei steht $\Delta$ für den Flächeninhalt und $s$ für den halben Umfang des Dreiecks $ABC$.

• Die trilinearen Koordinaten sind:

$\left(\sec \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cos \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)+1:\sec \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+1:\sec \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cos \left({\frac {\beta }{2}}\right)+1\right)$.

Weblinks

Commons: Punkt des gleichen Umweg – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• isoperimetric and equal detour points – interaktive Illustration auf Geogebratube