Stieltjesscher Inhalt

Der Stieltjes’sche Inhalt, benannt nach dem Mathematiker Thomas Jean Stieltjes, ist ein Inhalt, mit dem man das Riemann-Integral zum Lebesgue-Stieltjes-Integral verallgemeinern kann.

Stieltjes’scher Inhalt

Der Stieltjes’sche Inhalt wird auf dem Halbring ${\mathcal {J}}:=\{]a,b]:a,b\in \mathbb {R} ,a\leq b\}$ über $\mathbb {R}$ definiert. Da man Inhalte auf einem Halbring eindeutig auf ihrem erzeugten Ring fortsetzen kann, kann er auf der Menge

${\mathcal {F}}:=\left\{\left.\bigcup _{j=1}^{n}I_{j}\,\right|\,I_{1},\dotsc ,I_{n}\in {\mathcal {J}},I_{j}\cap I_{k}=\emptyset {\text{ wenn }}j\neq k\right\}$

betrachtet werden.

Ist $F\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine monoton wachsende Funktion, so nennt man den Inhalt

$\mu _{F}\colon {\mathcal {J}}\rightarrow \mathbb {R} ,\mu _{F}(]a,b]):=F(b)-F(a),(a\leq b)$

den zu $F$ gehörenden Stieltjes’schen Inhalt. Er ist σ-endlich.

Darstellung von Inhalten

Ist $\mu \colon {\mathcal {J}}\rightarrow \mathbb {R}$ ein endlicher Inhalt und wird $F:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ definiert durch

$F(x):={\begin{cases}\mu (]0,x]),&{\mbox{wenn }}x\geq 0\\-\mu (]x,0]),&{\mbox{wenn }}x<0\end{cases}}$,

so ist $F$ eine monoton wachsende Funktion und es gilt $\mu =\mu _{F}$. Damit lässt sich also jeder endliche Inhalt auf $\mathbb {R}$ als Stieltjes’scher Inhalt darstellen.

Lebesgue-Stieltjes’sches Prämaß

Man ist oft daran interessiert, ob ein Inhalt σ-additiv ist, also

$\mu _{F}\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }I_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu _{F}(I_{i})$

gilt, wenn die $I_{i}$ paarweise verschieden sind. σ-additive Inhalte sind nämlich Prämaße und lassen sich zu Maßen fortsetzen. Der Stieltjes’sche Inhalt ist genau dann ein Prämaß, wenn $F$ rechtsstetig ist. In diesem Fall nennt man $\mu _{F}$ das zu $F$ gehörige Lebesgue-Stieltjes’sche Prämaß. Als Spezialfall ergibt sich für $F(x)=x$ das Lebesguesche Prämaß. Hat man hingegen als Mengensystem den Halbring der links abgeschlossenen Intervalle gewählt, so ist $\mu _{F}$ ein Prämaß, genau dann wenn $F$ linksseitig stetig ist. Dieses Prämaß ist ebenfalls σ-endlich.

Lebesgue-Stieltjes-Integral

Mithilfe des Stieltjes’schen Inhalts kann man das Riemann-Integral zum Lebesgue-Stieltjes-Integral $\textstyle \int _{a}^{b}g(x)\ \mathrm {d} F(x)$ erweitern. Dazu verwendet man den Maßerweiterungssatz von Carathéodory, um aus dem Prämaß das Lebesgue-Stieltjes-Maß zu konstruieren. Die σ-Endlichkeit des Maßes liefert die Eindeutigkeit der Fortsetzung. Aus dem Maß lässt sich schließlich der neue Integralbegriff konstruieren.

Literatur

• Wolfgang Walter: Analysis (= Grundwissen Mathematik. Band 4). Springer, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-12781-X. 
• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 4., korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-21390-2, Kapitel II, § 2, S. 37.