Nichtexpansive Abbildung

Der Begriff der nichtexpansiven Abbildung entstammt der Funktionalanalysis, einem der Teilgebiete der Mathematik. Die nichtexpansiven Abbildungen zählen zu den lipschitzstetigen Abbildungen zwischen metrischen Räumen. Sie sind unter anderem bedeutsam im Zusammenhang mit Fixpunktsätzen.

Definition

Eine Abbildung $f\colon X\to Y$ für zwei metrische Räume $(X,d_{X})$ und $(Y,d_{Y})$ heißt nichtexpansiv, wenn stets die folgende Ungleichung erfüllt ist:

$d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq d_{X}(x_{1},x_{2})\;(\forall x_{1},x_{2}\in X)$

Erfüllt eine solche Abbildung $f\colon X\to Y$ für $x_{1},x_{2}\in X$ mit $x_{1}\neq x_{2}$ sogar stets die strenge Ungleichung

$d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))<d_{X}(x_{1},x_{2})$   ,

so nennt man $f$ strikt nichtexpansiv.

Fixpunktsatz von Browder-Göhde-Kirk

Zu den nichtexpansiven Abbildungen von metrischen Räumen in sich zählen nicht zuletzt auch die kontraktiven Abbildungen. Wie bei letzteren stellt sich auch für erstere die Frage nach der Existenz von Fixpunkten. Eine Antwort auf diese Frage liefert der Fixpunktsatz von Browder-Göhde-Kirk. Er ist verwandt mit den Fixpunktsätzen von Banach und Schauder und geht auf Arbeiten von Felix Earl Browder, Dietrich Göhde und William A. Kirk aus den 1960er Jahren zurück.

Der Fixpunktsatz von Browder-Göhde-Kirk lässt sich zusammengefasst darstellen wie folgt:

Gegeben seien ein gleichmäßig konvexer Banachraum $E$ und darin eine nichtleere, abgeschlossene, beschränkte und konvexe Teilmenge $X\subseteq E$.

Sei weiterhin $f\colon X\to X$ eine nichtexpansive Abbildung, also dergestalt, dass stets die Ungleichung $\|{f(x_{1})-f(x_{2})}\|_{E}\leq \|{x_{1}-x_{2}}\|_{E}\;(\forall x_{1},x_{2}\in X)$ erfüllt sei.

Dann gilt:

Die Fixpunktmenge $\operatorname {Fix} (f)=\{x\in X\colon f(x)=x\}$ ist eine nichtleere, abgeschlossene und konvexe Teilmenge von $X$.

Insbesondere gibt es ein $x_{0}\in X$ mit $f(x_{0})=x_{0}$ .

Der Fixpunktsatz von Browder-Göhde-Kirk gab Anlass zu einer Anzahl von Folgeuntersuchungen, die zu verschiedenen Beweisvarianten und Verallgemeinerungen führten. Die Resultate des Satzes wurden von Felix Browder, William A. Kirk und Dietrich Göhde unabhängig voneinander im Jahre 1965 gefunden. Browder hat mit diesem Satz die Existenz periodischer Lösungen gewisser Differentialgleichungen bewiesen. Kirks Version ist sogar noch etwas allgemeiner.

Anmerkungen

• Die nichtexpansiven Abbildungen sind genau diejenigen lipschitzstetigen Abbildungen $f$ zwischen metrischen Räumen, welche die Lipschitz-Konstante $\operatorname {Lip} _{f}\leq 1$ besitzen.
• Fixpunkteigenschaften gewisser strikt nichtexpansiver Abbildungen behandelt der Satz von Edelstein.

Literatur

• Felix E. Browder: Nonexpansive nonlinear operators in a Banach space. In: Proceedings of the National Academy of Sciences. Band 54, 1965, S. 1041–1044, JSTOR:73047 (MR0187120). 
• Kazimierz Goebel: An elementary proof of the fixed-point theorem of Browder and Kirk. In: Michigan Mathematical Journal. Band 16, 1969, S. 381–383, doi:10.1307/mmj/1029000322 (MR0251604). 
• Dietrich Göhde: Zum Prinzip der kontraktiven Abbildung. In: Mathematische Nachrichten. Band 30, 1965, S. 251–258, doi:10.1002/mana.19650300312 (MR0190718). 
• Vasile I. Istrățescu: Fixed Point Theory. An Introduction. With a Preface by Michiel Hazewinkel (= Mathematics and its Application. Band 7). D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, Boston, London 1981, ISBN 90-277-1224-7 (MR0620639). 
• Jacek Jachymski: Another proof of the Browder-Göhde-Kirk theorem via ordering argument. In: Bulletin of the Australian Mathematical Society. Band 65, 2002, S. 105–107, doi:10.1017/S0004972700020104 (MR1889383). 
• W. A. Kirk: A fixed point theorem for mappings which do not increase distances. In: American Mathematical Monthly. Band 72, 1965, S. 1004–1006, JSTOR:2313345 (MR0189009). 
• James M. Ortega, W. C. Rheinboldt: Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables. (Unabridged republication of the work first published by Academic Press, New York and London, 1970) (= Classics in Applied Mathematics. Band 30). Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia 2000, ISBN 0-89871-461-3, S. 404–407 (MR1744713). 
• Albrecht Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. Birkhäuser Verlag, Boston / Basel / Berlin 2007, ISBN 0-8176-4367-2 (MR2300779). 
• Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6. 
• Eberhard Zeidler: Nonlinear Functional Analysis and its Applications. I: Fixed-Point Theorems. Translated by Peter R. Wadsack. Springer Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo 1986, ISBN 0-387-90914-1 (MR0816732).