Supereffizienter Schätzer

Schätztheorie

Bei supereffizienten Schätzern handelt es sich um besondere Punktschätzer aus der Schätztheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik. Die Besonderheit liegt darin, dass sie die Cramér-Rao-Schranke überall unterschreiten. Ein supereffizienter Schätzer besitzt daher einen echt geringeren mittleren quadratischen Schätzfehler als alle regulären und erwartungstreuen Schätzer, die bei der Cramér-Rao-Ungleichung betrachtet werden. Der bekannteste Vertreter supereffizienter Schätzer ist der James-Stein-Schätzer.

Mathematische Definition

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Gegeben sei ein d-parametriges statistisches Modell   mit dominierendem Maß  . Die Fisher-Informationsmatrix   existiert und ist invertierbar. Diese Rahmenannahmen sind notwendig, da supereffiziente Schätzer nur Sinn ergeben, wenn die rechte Seite der Cramér-Rao-Ungleichung existiert.

Ein Schätzer   für den Parameter   heißt supereffizient, falls für alle   gilt:

 

Dabei handelt es sich bei   um die Spurbildung einer Matrix.

Existenz

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Mittels der Van-Trees-Ungleichung lässt sich beweisen, dass supereffizente Schätzer für ein- oder zweiparametrige Modelle nicht existieren. Die Existenz für höherparametrige Modelle zeigt der eingangs erwähnte James-Stein-Schätzer.