Supereffizienter Schätzer

Bei supereffizienten Schätzern handelt es sich um besondere Punktschätzer aus der Schätztheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik. Die Besonderheit liegt darin, dass sie die Cramér-Rao-Schranke überall unterschreiten. Ein supereffizienter Schätzer besitzt daher einen echt geringeren mittleren quadratischen Schätzfehler als alle regulären und erwartungstreuen Schätzer, die bei der Cramér-Rao-Ungleichung betrachtet werden. Der bekannteste Vertreter supereffizienter Schätzer ist der James-Stein-Schätzer.

Mathematische Definition

Gegeben sei ein d-parametriges statistisches Modell $({\mathcal {X}},{\mathcal {A}},(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })$ mit dominierendem Maß $\mu$. Die Fisher-Informationsmatrix $I(\vartheta )$ existiert und ist invertierbar. Diese Rahmenannahmen sind notwendig, da supereffiziente Schätzer nur Sinn ergeben, wenn die rechte Seite der Cramér-Rao-Ungleichung existiert.

Ein Schätzer $T:{\mathcal {X}}\to \mathbb {R} ^{d}$ für den Parameter $\vartheta \in \Theta \subset \mathbb {R} ^{d}$ heißt supereffizient, falls für alle $\vartheta$ gilt:

$\mathrm {E} _{\vartheta }\left[\|T-\vartheta \|^{2}\right]<\operatorname {Spur} (I(\vartheta )^{-1})$

Dabei handelt es sich bei $\operatorname {Spur}$ um die Spurbildung einer Matrix.

Existenz

Mittels der Van-Trees-Ungleichung lässt sich beweisen, dass supereffizente Schätzer für ein- oder zweiparametrige Modelle nicht existieren. Die Existenz für höherparametrige Modelle zeigt der eingangs erwähnte James-Stein-Schätzer.