Bei der Van-Trees-Ungleichung handelt es sich um eine zentrale Ungleichung aus der bayesschen Schätztheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik. Ähnlich wie die Cramér-Rao-Ungleichung aus der frequentistischen Statistik liefert sie eine Abschätzung der Varianz für Punktschätzer und damit eine Möglichkeit, unterschiedliche Schätzer miteinander zu vergleichen. Im Unterschied zur Cramér-Rao-Ungleichung verzichtet die Ungleichung auf die Voraussetzung der Erwartungstreue, ist aber dadurch für erwartungstreue Schätzer etwas schwächer. Für große Stichprobenumfänge unterscheidet sich allerdings die Van-Trees-Schranke nur noch geringfügig von der Cramér-Rao-Schranke.

Die Ungleichung ist benannt nach Harry L. van Trees, der die Ungleichung 1968 erstmals aufstellte.

Die Ungleichung

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Rahmenbedingungen

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Gegeben sei das einparametrige statistische Modell   mit dominierendem Maß  . Wir bezeichnen mit   die Dichte von   bezüglich  .

Über dem Parameterraum   gibt es zusätzlich ein Wahrscheinlichkeitsmaß   mit einer Dichte   bezüglich des Lebesgue-Maßes. Damit handelt es sich bei unserem Modell um ein bayessches statistisches Modell.

Es gelten weiterhin folgende Regularitätsbedingungen:

  •   und   sind beide ( -fast sicher) absolutstetige Funktionen.
  •   ist ein abgeschlossenes Intervall in  
  • Die Funktion   konvergiert an den Rändern des Definitionsintervalls   gegen  .

Formulierung

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Sei   ein Schätzer für den Parameter   und   eine Zufallsvariable, die wie   verteilt ist. Wir nehmen zudem an, dass   gilt.

Sei des Weiteren

 
 

die Fisher-Information für   beziehungsweise für einen Parameter in  . Dabei ist   der (gewöhnliche) Erwartungswert bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes   und   der Erwartungswert bezüglich des gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsmaßes von   und einer  -verteilten Zufallsvariable  .

Die Ungleichung von van Trees besagt nun:

 

Anwendungen

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Die Ungleichung kann verwendet werden, um zu zeigen, dass in ein- oder zweiparametrigen Modellen keine supereffizienten Schätzer existieren. Dabei ist unter einem supereffizienten Schätzer ein (nicht-erwartungstreuer) Schätzer gemeint, der die Cramér-Rao-Ungleichung unterschreitet.

Literatur

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  • Richard D. Gill, Boris Y. Levit: Applications of the van Trees inequality: a Bayesian Cramér-Rao bound. In: Bernoulli. 1, no. 1–2, 1995, S. 59–79. (projecteuclid.org)