Tanc-Funktion

Die tanc-Funktion oder auch Kardinaltangens (Tangens cardinalis) ist eine mathematische Funktion, die durch

Die tanc-Funktion im Bereich von −11 bis 11

$\operatorname {tanc} (x):={\dfrac {\tan(x)}{x}}$

definiert ist. Hierbei bezeichnet $\tan(x)$ den gewöhnlichen Tangens.

Analog zur gebräuchlicheren sinc-Funktion wird die Funktion an der hebbaren Definitionslücke bei $x=0$ durch ihren Grenzwert $\operatorname {tanc} (0)=1$ fortgesetzt. Trotz ihrer strukturellen Ähnlichkeit zählt sie nicht zu den Kardinalfunktionen.

Eigenschaften

Allgemeines

An der hebbaren Singularität bei $x=0$ werden die Funktionen durch den Grenzwert $\operatorname {tanc} (0)=1$ bzw. $\operatorname {tanc} (0)=1$ stetig fortgesetzt, der sich aus der Regel von de L’Hospital ergibt; manchmal wird die Definitionsgleichung auch mit Fallunterscheidung geschrieben:

$\operatorname {tanc} (x)={\begin{cases}{\frac {\tan x}{x}}&x\neq 0\vee x\neq \pi n\\1&x=0\end{cases}}$.

Nullstellen

Die tanc-Funktion hat ihre Nullstellen bei ganzzahligen Vielfachen von $\pi$:

$\operatorname {tanc} (x)={\frac {\tan(x)}{x}}=0$ gilt für $\ x\in \{n\pi \ \mid \ n\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}\}$

Asymptotisches Grenzverhalten

Für $x$-Koordinaten der Form $x_{n}={\frac {1}{2}}+\pi n$ mit ganzzahligem $n$ hat die $\operatorname {tanc} (x_{n})$-Funktion ein asymptotisches Grenzverhalten, da $\tan(x_{n})$ divergiert.

Ableitungen

Die erste Ableitung von $\operatorname {tanc} (x)$ ist gegeben durch:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\;\operatorname {tanc} (x)={\frac {\sec ^{2}(x)}{x}}-{\frac {\tan(x)}{x^{2}}}$

Integrale

Das Integral vom Kehrwert der tanc-Funktion hat bis zur ersten Nullstelle folgenden Wert:

$\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\operatorname {tanc} (x)}}={\frac {\pi }{2}}\ln(2)$

Dies wird im Folgenden bewiesen:

$\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\operatorname {tanc} (x)}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {arcsin} (x)}{x}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{-x^{2}y^{2}+1}}\,{\frac {y}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=$$=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{-x^{2}y^{2}+1}}\,{\frac {y}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}{\frac {\pi }{2}}\,{\frac {y}{{\sqrt {1-y^{2}}}(1+{\sqrt {1-y^{2}}})}}\,\mathrm {d} y={\frac {\pi }{2}}\ln(2)$

Abgrenzung

Die $\operatorname {tanc} (x)$ hat strukturell große Ähnlichkeit zu der $\operatorname {sinc} (x)$-Funktion, ist allerdings keine Kardinalfunktion, hat aber Definitionslücken bei $(n+{\frac {1}{2}})\pi$. Daher ist bspw. in der Physik die Verwendung von $\operatorname {sinc} (x)$ gebräuchlicher.

Weblinks

• Information zur Tanc-Funktion bei Wolfram Research