Teilersumme

mathematische Funktion

Unter der Teilersumme einer natürlichen Zahl versteht man die Summe aller positiven Teiler dieser Zahl einschließlich der Zahl selbst.[1]

Beispiel:

Die Zahl 6 hat die Teiler 1, 2, 3 und 6. Die Teilersumme von 6 lautet also .

Bei vielen Problemstellungen der Zahlentheorie spielen Teilersummen eine Rolle, z. B. bei den vollkommenen Zahlen und den befreundeten Zahlen.

Definitionen

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Definition 1: Summe aller Teiler

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Sind   alle Teiler der natürlichen Zahl  , so nennt man   die Teilersumme von  . Dabei sind 1 und   selbst Teiler, also in der Menge der Teiler enthalten. Die Funktion   heißt Teilersummenfunktion und ist eine zahlentheoretische Funktion.

Das Beispiel oben kann man nun so schreiben:

 .

Definition 2: Summe der echten Teiler

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Die Summe   der echten Teiler der natürlichen Zahl   ist die Summe der Teiler von   ohne die Zahl   selbst.

Beispiel:

 .

Es gilt die Beziehung

 .

Definition 3: defizient, abundant, vollkommen

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Eine natürliche Zahl   heißt

defizient oder teilerarm, wenn  ,
abundant oder teilerreich, wenn  ,
vollkommen, wenn  .[2]

Beispiele:

 , d. h. 6 ist eine vollkommene Zahl.
 , d. h. 12 ist abundant.
 , d. h. 10 ist defizient.

Eigenschaften der Teilersumme

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Satz 1: Teilersumme einer Primzahl

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Für jede Primzahl   gilt

 .

Beweis: Per Definition hat   nur die Teiler   und  . Daraus folgt die Behauptung.

Satz 2: Teilersumme der Potenz einer Primzahl

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Sei   eine Primzahl und  . Dann gilt für die Potenz  :

 .

Beweis: Da   eine Primzahl ist, hat   nur die Teiler  . Diese Zahlen bilden eine geometrische Folge. Aus der Formel für die Partialsummen der geometrischen Reihe folgt sofort die Behauptung.

Beispiel:

 
 

Satz 3: Teilersumme des Produktes von zwei Primzahlen

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Seien   und   verschiedene Primzahlen. Dann gilt

 .

Beweis: Die Zahl   besitzt genau die Teiler   und  . Daraus folgt

 .

Beispiel:

 
 

Satz 4: Teilersumme des Produkts von zwei teilerfremden Zahlen

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Sind   und   teilerfremde Zahlen, so gilt

 .[3]

Die Teilersummenfunktion ist also multiplikativ.

Beispiel:

 
 

Satz 5: Teilersumme einer in Primfaktoren zerlegten Zahl

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Sei   mit der Primfaktorzerlegung  . Dann gilt

 .[4]

Beispiel:

 

Satz von Thabit

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Mit Hilfe von Satz 4 kann man den Satz von Thabit (benannt nach Thabit ibn Qurra) aus dem Gebiet der befreundeten Zahlen beweisen. Der Satz lautet:

Für eine natürliche Zahl   seien   und  .

Wenn  ,   und   Primzahlen größer als 2 sind, dann sind die beiden Zahlen   und   befreundet, d. h.   und  .

Beweis
 

Analog zeigt man  .

Teilersumme als endliche Reihe

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Für jede natürliche Zahl   kann die Teilerfunktion als Reihe dargestellt werden, ohne dass auf die Teilbarkeitseigenschaften von   explizit Bezug genommen wird:

 

Beweis: Die Funktion

 

wird 1, wenn   ein Teiler von   ist, ansonsten bleibt sie Null.

Sei nämlich   ein Teiler von  . Dann ist der Quotient   ganzzahlig, somit ist   gleich 1. Die Summation über   ergibt  , woraus   folgt.

Sei nun   kein Teiler von  . Es gilt dann

 

Damit ist gezeigt, dass   genau dann gleich 1 ist, wenn   ein Teiler von   ist, und ansonsten verschwindet.

Multipliziert man jetzt   mit   und summiert das Produkt über alle Werte   bis  , so entsteht nur dann ein Beitrag   zur Summe, wenn   ein Teiler von   ist. Das ist aber genau die Definition der allgemeinen Teilerfunktion

 

deren Spezialfall   die einfache Teilersumme   ist.

Siehe auch

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Literatur

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  • Paul Erdős, János Surányi: Topics in the Theory of Numbers. (= Undergraduate Texts in Mathematics). 2. Auflage. Springer Verlag, New York, NY (u. a.) 2003, ISBN 0-387-95320-5 (Aus dem Ungarischen übersetzt von Barry Guiduli).
  • József Sándor, Dragoslav S. Mitrinović, Borislav Crstici: Handbook of Number Theory. I. Springer Verlag, Dordrecht 2006, ISBN 1-4020-4215-9.
  • József Sándor, Borislav Crstici: Handbook of Number Theory. II. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London 2004, ISBN 1-4020-2546-7.
  • Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers (= North-Holland Mathematical Library. Band 31). 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. North-Holland, Amsterdam / New York 1988, ISBN 0-444-86662-0.
  • Jochen Ziegenbalg: Elementare Zahlentheorie. Beispiele, Geschichte, Algorithmen. 2. Auflage. Springer, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-658-07170-7.

Einzelnachweise

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  1. Jochen Ziegenbalg: Elementare Zahlentheorie. 2. Auflage. 2015, S. 35.
  2. Jochen Ziegenbalg: Elementare Zahlentheorie. 2. Auflage. 2015, S. 37.
  3. Jochen Ziegenbalg: Elementare Zahlentheorie. 2. Auflage. 2015, S. 36.
  4. G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage. Oxford University Press, Oxford 1975, ISBN 0-19-853310-1, S. 239.