Teilersumme
Unter der Teilersumme einer natürlichen Zahl versteht man die Summe aller positiven Teiler dieser Zahl einschließlich der Zahl selbst.[1]
Beispiel:
- Die Zahl 6 hat die Teiler 1, 2, 3 und 6. Die Teilersumme von 6 lautet also .
Bei vielen Problemstellungen der Zahlentheorie spielen Teilersummen eine Rolle, z. B. bei den vollkommenen Zahlen und den befreundeten Zahlen.
Definitionen
BearbeitenDefinition 1: Summe aller Teiler
BearbeitenSind alle Teiler der natürlichen Zahl , so nennt man die Teilersumme von . Dabei sind 1 und selbst Teiler, also in der Menge der Teiler enthalten. Die Funktion heißt Teilersummenfunktion und ist eine zahlentheoretische Funktion.
Das Beispiel oben kann man nun so schreiben:
- .
Definition 2: Summe der echten Teiler
BearbeitenDie Summe der echten Teiler der natürlichen Zahl ist die Summe der Teiler von ohne die Zahl selbst.
Beispiel:
- .
Es gilt die Beziehung
- .
Definition 3: defizient, abundant, vollkommen
BearbeitenEine natürliche Zahl heißt
- defizient oder teilerarm, wenn ,
- abundant oder teilerreich, wenn ,
- vollkommen, wenn .[2]
Beispiele:
- , d. h. 6 ist eine vollkommene Zahl.
- , d. h. 12 ist abundant.
- , d. h. 10 ist defizient.
Eigenschaften der Teilersumme
BearbeitenSatz 1: Teilersumme einer Primzahl
BearbeitenFür jede Primzahl gilt
- .
Beweis: Per Definition hat nur die Teiler und . Daraus folgt die Behauptung.
Satz 2: Teilersumme der Potenz einer Primzahl
BearbeitenSei eine Primzahl und . Dann gilt für die Potenz :
- .
Beweis: Da eine Primzahl ist, hat nur die Teiler . Diese Zahlen bilden eine geometrische Folge. Aus der Formel für die Partialsummen der geometrischen Reihe folgt sofort die Behauptung.
Beispiel:
Satz 3: Teilersumme des Produktes von zwei Primzahlen
BearbeitenSeien und verschiedene Primzahlen. Dann gilt
- .
Beweis: Die Zahl besitzt genau die Teiler und . Daraus folgt
- .
Beispiel:
Satz 4: Teilersumme des Produkts von zwei teilerfremden Zahlen
BearbeitenSind und teilerfremde Zahlen, so gilt
- .[3]
Die Teilersummenfunktion ist also multiplikativ.
Beispiel:
Satz 5: Teilersumme einer in Primfaktoren zerlegten Zahl
BearbeitenSei mit der Primfaktorzerlegung . Dann gilt
- .[4]
Beispiel:
Satz von Thabit
BearbeitenMit Hilfe von Satz 4 kann man den Satz von Thabit (benannt nach Thabit ibn Qurra) aus dem Gebiet der befreundeten Zahlen beweisen. Der Satz lautet:
Für eine natürliche Zahl seien und .
Wenn , und Primzahlen größer als 2 sind, dann sind die beiden Zahlen und befreundet, d. h. und .
- Beweis
Analog zeigt man .
Teilersumme als endliche Reihe
BearbeitenFür jede natürliche Zahl kann die Teilerfunktion als Reihe dargestellt werden, ohne dass auf die Teilbarkeitseigenschaften von explizit Bezug genommen wird:
Beweis: Die Funktion
wird 1, wenn ein Teiler von ist, ansonsten bleibt sie Null.
Sei nämlich ein Teiler von . Dann ist der Quotient ganzzahlig, somit ist gleich 1. Die Summation über ergibt , woraus folgt.
Sei nun kein Teiler von . Es gilt dann
Damit ist gezeigt, dass genau dann gleich 1 ist, wenn ein Teiler von ist, und ansonsten verschwindet.
Multipliziert man jetzt mit und summiert das Produkt über alle Werte bis , so entsteht nur dann ein Beitrag zur Summe, wenn ein Teiler von ist. Das ist aber genau die Definition der allgemeinen Teilerfunktion
deren Spezialfall die einfache Teilersumme ist.
Siehe auch
BearbeitenLiteratur
Bearbeiten- Paul Erdős, János Surányi: Topics in the Theory of Numbers. (= Undergraduate Texts in Mathematics). 2. Auflage. Springer Verlag, New York, NY (u. a.) 2003, ISBN 0-387-95320-5 (Aus dem Ungarischen übersetzt von Barry Guiduli).
- József Sándor, Dragoslav S. Mitrinović, Borislav Crstici: Handbook of Number Theory. I. Springer Verlag, Dordrecht 2006, ISBN 1-4020-4215-9.
- József Sándor, Borislav Crstici: Handbook of Number Theory. II. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London 2004, ISBN 1-4020-2546-7.
- Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers (= North-Holland Mathematical Library. Band 31). 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. North-Holland, Amsterdam / New York 1988, ISBN 0-444-86662-0.
- Jochen Ziegenbalg: Elementare Zahlentheorie. Beispiele, Geschichte, Algorithmen. 2. Auflage. Springer, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-658-07170-7.
Einzelnachweise
Bearbeiten- ↑ Jochen Ziegenbalg: Elementare Zahlentheorie. 2. Auflage. 2015, S. 35.
- ↑ Jochen Ziegenbalg: Elementare Zahlentheorie. 2. Auflage. 2015, S. 37.
- ↑ Jochen Ziegenbalg: Elementare Zahlentheorie. 2. Auflage. 2015, S. 36.
- ↑ G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage. Oxford University Press, Oxford 1975, ISBN 0-19-853310-1, S. 239.