Thurston-Norm

In der niedrigdimensionalen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Thurston-Norm eine Norm auf der 2. Homologie 3-dimensionaler Mannigfaltigkeiten, welche die Komplexität der die Homologieklasse repräsentierenden Flächen misst.

Sei $M$ eine kompakte, orientierte 3-Mannigfaltigkeit und $\phi \in H^{1}(M;\mathbb {Z} )=H_{2}(M,\partial M;Z)$ eine Kohomologieklasse. Wir definieren die Thurston-Norm von $\phi$ durch

$x(\phi )=\min \left\{x(S)\colon S{\mbox{ repräsentiert }}\phi \right\}$,

wobei $S$ alle die Homologieklasse $\phi$ repräsentierenden Flächen durchläuft und die Komplexität der in Zusammenhangskomponenten zerlegten Fläche $S=S_{1}\cup \ldots \cup S_{k}$ durch

$x(S)=-\sum _{i\colon S_{i}\not =S^{2},D^{2}}\chi (S_{i})$

definiert ist, wobei $\chi (S_{i})$ die Euler-Charakteristik der Zusammenhangskomponente bezeichnet. Die so auf der ganzzahligen Kohomologie definierte Thurston-Norm hat die Eigenschaften

• $x(n\phi )=\mid n\mid x(\phi )$ für $n\in \mathbb {Z}$
• $x(\phi _{1}+\phi _{2})\leq x(\phi _{1})+x(\phi _{2})$

und kann deshalb zu einer Halbnorm auf $H^{1}(M;\mathbb {R} )$ fortgesetzt werden, die als Thurston-Norm bezeichnet wird. (Sie ist gleich der Hälfte der Gromov-Norm.)Ihre Einheitskugel bezeichnet man als Thurston-Norm-Kugel. Thurston bewies, dass es sich um ein Polytop mit Ecken in $H^{1}(M;\mathbb {Q} )=H_{2}(M,\partial M;\mathbb {Q} )$ handelt.

Eine Kohomologieklasse $\pi \in H^{1}(M;\mathbb {Z} )=Hom(\pi _{1}M,\mathbb {Z} )$ heißt gefasert, wenn es eine Faserung $p\colon M\to S^{1}$ mit $p_{*}=\phi$ gibt. Eine rationale Kohomologieklasse $\phi \in H^{1}(M;\mathbb {Q} )$ heißt gefasert, wenn es ein rationales Vielfaches in $H^{1}(M;\mathbb {Z} )$ gibt, das eine gefaserte Kohomologieklasse ist. Eine Kohomologieklasse $\phi \in H^{1}(M;\mathbb {R} )$ heißt gefasert, wenn sie in De-Rham-Kohomologie durch eine nicht ausgeartete Differentialform repräsentiert werden kann. Thurston bewies, dass gefaserte Kohomologieklassen zum Kegel über einer offenen top-dimensionalen Randfläche der Thurston-Norm-Kugel gehören, und dass dann jede andere Komologieklasse in diesem Kegel ebenfalls gefasert ist.

Literatur

• William Thurston: A norm for the homology of 3-manifolds. Mem. AMS 59, 99-130 (1986)